Funktionsgleichung in Mathe?
Hey, ich schreibe bald eine Mathe Arbeit und weiß nicht wie ich diese Rechnung lösen soll. Es ist eine Übung und ich komme leider echt nicht weiter. Bin dankbar für jede Hilfe !
Die Flugbahn einer Kugel wird durch die dargestellte Funktionsgleichung y=0,1x hoch 2 +0,6x +1,6 beschrieben.
a) Aus welcher Höhe stößt Matin die Kugel ab ?
b) Wie weit fliegt die Kugel und begründe mithilfe einer Rechnung.
c) Gib die negative Nullstelle von y=-0,1x hoch 2 +0,6 +1,6 an. Hat sie eine Bedeutung? Hinweis: Die negative Nullstelle ist eine ganze Zahl.
d) Ermittle die maximale Höhe die die Kugel erreicht. Hinweis: beide Nullstellen haben den gleichen Abstand zum Scheitelpunkt
6 Antworten
Hallo,
a) Setze für x 0 ein-->y= 0,1*0 hoch 2+ 0,6*0+1,6=1,6
Er schmeißt die Kugel also aus 1,6 Längeneinheiten (steht ja niergends, dass es Meter sind)
b)Du suchst den Punkt, in welcher die Kugel auftrifft, also die Nullstelle. Setz y=0:
0=-0,1xhoch 2 + 0,6x + 1,6 | :(-0,1)
0=x hoch 2 - 6x - 16 | p-q-Formel
x1 und x2= 6/2 +- Wurzel((6/2) hoch 2 +16)
x1= 3+5=8
x2=3-5 =-2
Da wir die Kugel nach vorne werfen, können wir keinen negativen weg zurückgelegt haben, also betrachten wir die 8. Die Kugel fliegt also 8 Längeneinheiten weit
c)
Die negative haben wir in b) ausgerechnet; -2. Sie hat in diesem zusammenhang keine Bedeutung.
d)
Wir haben hier eine quadratische Funktion (der höchste Exponent ist 2), deswegen haben wir nur einen Extrempunkt. Sie muss nach unten geöffnet sein, sonst würde die Kugel nicht fallen, der Extrempunkt ist also ein Maximum. Das Maximum ist gleichzeitig der Scheitelpunkt, das ist immer so bei quadratischen Funktionen. Weiter ist eine quadratische Funktion Spiegel symmetrisch, dass heißt, man kann sie an einer Achse (in der Mitte in diesem Fall) spiegeln. Die Nullstellen sind also gleich weit von dem Scheitelpunkt entfernt. Er muss also in der Mitte zwischen x2=-2 und x1=8 liegen, also bei x=3. Nach 3 Längeneinheiten hat die Kugel also seinen höchsten Punkt erreicht.
Jetzt setzten wir die 3 in die Gleichung ein, damit wir die Höhe herausbekommen, also;
y=-0,1*3hoch2 + 0,6*3 + 1,6
y=-0,9 + 1,8 + 1,6
y= 2,5
Die Kugel ist also an ihrem höchsten Punkt eine Höhe von 2,5 Längeneinheiten gehabt.
Ich hoffe, das hat dir geholfen, wenn du noch fragen hast, schreib einfach :).
Viele Grüße
Abwurfstelle ist bei x=0
f(0)=-0,1*0²+0,6*0+1,6=1,6 m
Abwurfhöhe hab=f(0)=1,6 m
b) Nullstellen ermitteln.Die kugel trifft auf den Boden auf und dort ist f(x)=0
0=-0,1*x²+0,6*x+1,6 dividiert durch -0,1
0=x²-6-16 hat die Form 0=x²+p*x+q Nullstellen mit der p-q-Formel
x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)
hier p=-6 und q=-16
eingesetzt
x1,2=-(-6)/2+/-Wurzel((-6/2)²-(-16))=3+/-Wurzel(9+16)=3+/-5
x1=3+5=8 m und x2=3-5=-2 m
kugel trifft auf dem Boden bei x=8 m (positiv,weil die Kugel ja nach vorne gestoßen wird)
Nullstellen,weil das x-y-Koordinatensystem seinen Ursprung P(0/0) auf der Erdoberfläche hat.
c) die negative Nullstelle bei x=-2 m gehört zu der Funktion y=f(x)=-0,1*x²+0,6*x+1,6
Würde man die Kugel nach "hinten" stoßen und würde die Flugbahn f(x)=.. entsprechen,dann landet sie bei P(aufprall)(-2m/0m)
Der Scheitelpunkt Ps(xs/ys) einer Parabel liegt immer in der Mitte der beiden
reellen Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse)
es gilt Abstand der Nullstellen d=x2-x1 mit x2>x1 hier d=8-(-2)=8+2=10 m
zu d) Scheitelpunkt liegt in der Mitte der beiden Nullstellen,also bei d/2=10 m/2=5m
xs=8 m-5m=3 m (auf der x-Achse um 5 Einheiten nach links gehen) oder xs=-2m+5m=3 m (um 5 Einheiten auf der x-Achse nach rechts gehen)
eingesetzt f(xs)=f(3)=-0,1*x²+0,6*3+1,6=2,5 m
Scheitelpunkt bei Ps(3m/2,5m)
Hier Infos per Bild,was du vergrößern kannst und auch herunterladen.
Hier quadratische Ergänzung mit der man die allgemeine Form
y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao in die
Scheitelpunktform umwandelt y=f(x)=a2*(x-xs)²+ys
Scheitelpunkt Ps(xs/ys)
y = -0,1x² + 0,6x + 1,6
Das Minuszeichen vorne ist wichtig, sonst wäre es eine seltsame Flugbahn.
zu a)
Die Höhe kannst Du in der Funktionsgleichung direkt ablesen. Überlege mal, welchen Wert y hat, wenn x = 0 ist. Das ist die Anfangshöhe.
zu b) u. zu c)
Hier musst Du die Nullstellen bestimmen, also ...
0 = -0,1x² + 0,6x + 1,6
Kennst Du die pq-Formel?
Die Nullstelle mit dem positiven Wert entspricht der Wurfweite.
zu d)
Die max. Höhe hat die Kugel am Scheitelpunkt der Parabel. Dafür musst Du die Funktionsgleichung umwandeln in die Scheitelpunktform.
(Lösung: y = -0,1 * (x - 3)² + 2,5)
Alternativ kannst Du auch den mittleren x-Wert zwischen den beiden Nullstellen ermitteln. An dieser Stelle hat die Parabel den höchsten y-Wert.
Neben den ganzen Hinweisen noch das folgende von mir:
Multipliziere die Gleichung 0 = -0,1x^2+0,6x+1,6 mit 0,1. Damit erhälst du die pq-Form und du hast ganzzahlige Koeffizienten. Nun mußt du noch die Nullstelle mit negativem Vorzeichen finden. Das ist nicht schwer, sie steckt nämlich in der (dann) 16 drin, d.h. sie ist entweder -1, -2, -4, -8 oder -16.
Ja ja, ramm das Messer nur noch weiter in meine gepeinigte Mathematikerseele. Ich habe es doch schon zugegeben :heul:
Alles gut, laß mir meinen Spaß :-). Eine Empfehlung aber: Es ist schön dass du so gut in Mathe bist. Schülerinnen und Schüler solltest du aber wie von @gogogo und mir vorgemacht eher zur Lösung der Aufgabe hin führen. Bei Erstis, die Probleme mit ihren Übungsblättern haben kannst du auch mal die Lösung einfach runter schreiben, aber dann auch Diskussion über die Lösung anbieten. Die jungen Menschen, die hier her kommen sollen etwas lernen und nicht ihre Hausaufgaben abschreiben...
a) Martin steht bei x = 0
b) suche x mit f(x) = 0. Statt f(x) steht bei dir y
c) weiß nicht, was eine negative Nulstelle ist. Was ist eine negative Nullsteöle? Vermutlich die zweite Nullstelle für ein negatives x
d) Suche das x, so dass f'(x) = 0 ist (Bedingung für Extrempunkt). Alternativ nimm den Mittelpunkt zwischen den in b) und c) ermittelten Nullstellen.
Ist der Faktor 0,1 richtig? Ich hätte mit -10 multipliziert.