Eine Schafherde besteht aus zehn Schafen, sieben weissen Schafen und drei schwarzen. Tierarzt wählt zufällig drei Schafe aus. Berechne die Wahrscheinlichkeit?
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Tierarzt c) kein schwarzes Schaf auswählt.
Ich sitze ich schon seit 1 Stunde an dieser Aufgabe und kann sie nicht lösen. Aufgabe a und b waren relativ einfach. Lautet die Antwort für c) vielleicht 7/24?
2 Antworten
Hallo,
kein schwarzes Schaf bedeutet nur weiße Schafe.
Es handelt sich um das Modell Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge.
Da zunächst 7 von 10 Schafen weiß sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Auswahl eines weißen Schafes 7/10.
Beim zweiten Zug sind noch 9 Schafe in der Herde, von denen 6 weiß sind.
Daher 6/9=2/3.
Beim dritten Zug sind es 5 von 8, also 5/8.
(7/10)*(2/3)*(5/8)=(7*2*5)/(10*3*8)= 7/(3*8) - nach Kürzen - =7/24.
Das ist das Ergebnis, das Du auch herausbekommen hast.
Entweder ist es also korrekt oder wir sind beide doof.
Herzliche Grüße,
Willy
Du kannst das natürlich elegater über die hypergeometrische Verteilung berechnen, wenn Du mit Binomialkoeffizienten n über k umgehen kannst.
In diesem Fall:
[(7 über 3)*(3 über 0)}/(10 über 3)
3 Schafe sollen aus der Gruppe der 7 weißen stammen, 0 Schafe aus der Gruppe der 3 schwarzen.
Insgesamt werden 3 aus 10 Schafen ausgewählt.
10 über 3 ist am Taschenrechner 10 nCr 3, falls dieser eine entsprechende Funktion besitzt.
Erste Durchgang ist die Chance, 1ein Schwarzesschaf zu ziehen bei 3/10
Zweiter Durchgang dann nur noch 3/9
und beim dritten 3/8
Also ist die Wahrscheinlichkeit kein Schwarzeschaf zu ziehen 1-(3/10+3/9+3/8)
deswegen 1 minus der wahrscheinlichkeit nur Weißeschafe zu ziehen.
Das Ziehen dreier schwarzer Schafe ist nicht das Gegenereignis zum Ziehen keines schwarzen Schafes, sondern nur das Gegenereignis zum Wählen mindestens eines weißen Schafes.
Außerdem ist die Wahrscheinlichkeit für ein zweites schwarzes Schaf nicht 3/9, sondern 2/9, denn wenn beim ersten Mal bereits eins ausgewählt wurde, sind nur noch 2 von 9 Schafen schwarz. Beim dritten Mal ist es dann 1/8.
Herzliche Grüße,
Willy
und ein weißes ?