Echt strikte obere Dreiecksmatrix = Nilpotent?
Hallo,
ich recherchiere gerade über Dreiecksmatrizen und habe auf Wikipedia folgende Aussage gefunden:
Kann man dass für alle n irgendwie induktiv zeigen? Mich würde ein Beweis interessieren ,der sich der Induktion bedient.
1 Antwort
Es reicht, wenn du das Bild der Basisvektoren Betrachtest
Annahme: für den i. Basisvektor b_i Gilt:
A^i(b_i)=0
Beweis:
Beginne mit i=1
Die erste Spalte ist 0, also ist klar dass das Bild des ersten Basisvektors 0 ist.
Induktionsvorraussetzung:
Sei die Aussage für alle j<=i wahr
Betrachte nun i+1
Da A eine strikte obere Dreiecksmatrix ist, ist das Bild von b_i+1 eine Linearkombination der Basisvektoren b_1 bis b_i
Da A Eine lineare Abbildung ist, kann man das Bild der einzelnen Summanden betrachten und für jeden einzelnen gilt, da 0 auf 0 abgebildet wird:
A^i*b_j=0 für alle j<=I
Somit gilt A^(i+1)b_i+1
Somit folgt, dass A^n=0 ist, da das Bild aller Basisvektoren 0 ist
Weil die Spalten der Matrix den Bildern der Basisvektoren entspricht.
Wenn also jeder Basisvektor auf 0 abgebildet wird, wird alles auf 0 abgebildet
Du meintest auch glauibe ich A^(i+1)b_(i+1)=0, ansonsten verstehe ich den schluss nicht.
Warum reicht es die Basisvektoren zu betrachten? Danke für die Antwort.