Frage von SkyDown, 53

Beweis durch ein Gegenbeispiel?

Wenn ich eine Behauptung widerlegen soll z.B.:

P(A\B) = P(A) \ P(B)

P = POTENZMENGE

Reicht es dann ein Gegenbeispiel anzuführen wo das ganze nicht gilt?

Also für A und B 2 verschiedene Mengen angeben und das ganze ausrechnen?

Ist das dann eine ausreichende Beweisführung?

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 25

Na klar.

Wenn behauptet wird, dass diese Gleichung allgemeingültig ist, kannst du mit einem Gegenbeispiel zeigen, dass das nicht so ist.

Denn dann ist diese Gleichung nicht mehr allgemeingültig, sondern gilt nur für bestimmte Werte.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Antwort
von Rubezahl2000, 28

Die wichtigste Info fehlt bei der Behauptung in deiner Frage:

• Soll die Behauptung für ALLE Mengen A und B gelten?
Dann reicht zum Widerlegen 1 Gegenbsp.

• Oder sagt die Behauptung, dass es solche Mengen gibt, für die das gilt.
Dann muss zum Widerlegen gezeigt werden, dass es KEINE solchen Mengen gibt, also dass es für ALLE Mengen NICHT gilt.

Kommentar von kreisfoermig ,

Da Ø ∈ P(X) für alle X, gilt Ø ∈ P(A\B), P(A) und P(B). Daher Ø ∈ P(A\B) und Ø ∉ P(A)\P(B). Folglich gilt ∀A,B: P(A\B)≠P(A)\P(B).

Das heißt, diese Gleichung ist nicht nur [nicht (allgemein gültig)], sondern [allgemein ungültig].

Den Unterscheid soll man wie du sagst auf jeden Fall sich merken. Hier gilt das Stärkere von den beiden (deine 2).

Antwort
von FataMorgana2010, 44

Ja, zur Widerlegung reicht ein einziges Beispiel aus. 

Kommentar von SkyDown ,

Ok. weil ich hatte eine aufgabe (Uni) und da war die aufgabr mit den potenzen. da stand "Beweisen oder wiederlegen sie dass..." und habe dann einfach 2 mengen genommen und das ganze so widerlegt.

Kommentar von Tannibi ,

Sag doch einfach mal die ganze Aufgabe.

Kommentar von SkyDown ,

Beweisen oder widerlegen Sie: P(A\B) = P(A) \ P(B)

Kommentar von Schachpapa ,

A = { 1; 2 }  B= {2; 3}   A\B = {1}

P(A) = { {}; {1}; {2}; {1;2} }

P(B) = { {}; {2}; {3}; {2;3} }

P(A\B) = { {}; {1} }

P(A) \ P(B) = { {1}; {1;2} }

Also gilt die Behauptung im Allgemeinen nicht.

Kommentar von Willibergi ,

Mit beweisen oder widerlegen sie ist einfach gemeint, dass du zeigen sollst, ob diese Behauptung allgemein gilt.

Wenn das der Fall ist, kannst du sie beweisen, wenn nicht, widerlegen (durch ein Gegenbeispiel).

LG Willibergi

Kommentar von SkyDown ,

ok danke

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 25

Hallo,

als Albert Einstein gehört hatte, daß die Nazis ein Buch herausgegeben hatten, das sich '100 Autoren gegen Einstein' nennt, meinte dieser dazu nur:

Wenn ich mich geirrt habe, reicht einer.

So funktioniert das mit Beweisen durch Gegenbeispiele: Eins genügt völlig.

Herzliche Grüße,

Willy

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten