Stimmt dieser Beweis? Kommutativgesetz Natürliche Zahlen
Zuerst der Beweis das a+1 = 1+a
Die Aussage gilt für a=1 , da 1+1 = 1+1
Wenn die Aussage für ein a gilt, gilt sie auch für a+1
(a+1)+1 = (a+1)-1+1+1=1+a-1+1+1=1+a+0+1 = 1+(a+1)
Dann der Beweis für a+b = b+a (sei A fest aber beliebig) Induktion über b
Die Aussage gilt für b=1 (siehe 1. Beweisteil)
Wenn die Aussage für ein b gilt, dann gilt sie auch für b+1 weil:
a+(b+1) = a+b+1-1+1 = b+a+1-1+1 = b+1+a-1+1 = (b+1)+a+0
Stimmt das so oder habe ich einen Fehler gemacht???
5 Antworten
Nein, der Beweis ist korrekt - du hast die Aussage korrekt auf die Fälle b= 1, a natürlich zerlegt, und dann den Induktionschluss unter Verwendung des Nachfolgeaxioms für die natürlichen Zahlen korrekt ausgeführt.
Diese Aussage kannst du nun für den zweiten Teil verwenden, da bereits bewiesen.
VG, dongodongo
PS: Falls du ein Skript hast, empfehle ich dir, Definierende Eigenschafte, so sie explizit bezeichnet werden, auch zu zitieren.
Beim zweiten Schritt in der ersten langen Gleichungskette könntest du noch I.A. ergänzen, so wird dann für den Korrektor ersichtlicher, dass du sie und was du verwendest. Als Tutor bei Vorlesungen, wo man Übungsblätter korrigiert hat man nicht so viel Lust, da selber zu denken^^
Der Induktionsschritt im Beweis von a+1 = 1+a geht kürzer: (a+1)+1 = (1+a)+1 = 1+(a+1) [ nach Induktionsannahme und wg. Assoziativgesetz für + ].
Der Induktionsschritt im Beweis von a+b = b+a geht ebenfalls kürzer: a+(b+1) = (a+b)+1 = (b+a)+1 = b+(a+1) [Induktionsannahme in 2. Gleichung].
Ausführliche Fassung
Ob der Beweis stimmt, hängt davon ab, welche Definition der natürlichen Zahlen und der Addition, welche Axiome und welche Sätze vorausgesetzt werden. Da im Beweis die 0 verwendet wird, sollte sie hier wohl ebenfalls als natürliche Zahl angesehen werden, die Induktion also bei 0 beginnen.
Es seien also die Peano-Axiome einschließlich des Prinzips der Vollständigen Induktion vorausgesetzt.
Definition: Die Summe a + b der natürlichen Zahlen a und b sei induktiv definiert durch
a + 0 = a
(a + b) + 1 = a + (b + 1)
Das Assoziativgesetz der Addition von natürlichen Zahlen a, b, c sei bereits bewiesen:
(a + b) + c = a + (b + c).
Dann gilt zunächst der folgende
Hilfssatz 1: 0 + a = a für jede natürliche Zahl a.
Beweis durch vollständige Induktion nach a:
Induktionsanfang: Für a = 0 gilt 0 + a = 0 + 0 = 0 = a.
Induktionsschritt: Es gelte die Induktionsvoraussetzung 0 + a = a. Zu zeigen: 0 + (a + 1) = a + 1.
Es gilt:
0 + (a + 1) =
= (0 + a) + 1 [ nach dem Assoziativgesetz ]
= a + 1 [ da 0 + a = a nach Induktionsvoraussetzung ]
./.
Ferner brauchen wir
Hilfssatz 2: a + 1 = 1 + a für jede natürliche Zahl a.
Beweis durch vollständige Induktion nach a:
Induktionsanfang:
0 + 1 = 1 [ nach Hilfssatz 1 ]
= 1 + 0 [ nach Definition von + ]
Induktionsschritt: Es gelte die Induktionsvoraussetzung a + 1 = 1 + a für eine natürliche Zahl a. Zu zeigen: (a + 1) + 1 = 1 + (a + 1 ).
(a + 1) + 1 = (1 + a) + 1 [ nach Induktionsvoraussetzung ]
= 1 + (a + 1) [ nach dem Assoziativgesetz ]
Damit lässt sich ähnlich wie in der Frage das Kommutativgesetz für + beweisen:
Satz: a + b = b + a für alle natürlichen Zahlen a und b.
Beweis durch vollständige Induktion nach b:
Induktionsanfang:
a + 0 = a [ nach obigem Hilfssatz ]
= a + 0 [ nach Definition von + ]
Induktionsschritt: Es gelte die Induktionsvoraussetzung a + b = b + a für alle natürlichen Zahlen a und eine natürliche Zahl b. Zu zeigen: a + (b + 1) = (b + 1) + a.
a + (b + 1) = (a + b) + 1 [ nach Definition von + ]
= (b + a) + 1 [ nach Induktionsvoraussetzung und wg. Eindeutigkeit d. Nachfolgeroperation "+1" ]
= b + (a + 1) [ nach Definition von + ]
= b + (1 + a) [ nach Hilfssatz 2 ]
= (b + 1) + a [ nach dem Assoziativgesetz ]
./.
Ähm, das Kommutativgesetz der (rellen und damit auch natürlichen - über die induktive Menge) Zahlen ist ein Axiom...
Nein, bei der klassischen Einführung der natürlichen Zahlen über die Peano-Axiome ist das Kommutativgesetz kein Axiom.
Nein. Das Kommutativ-Gesetz muss nicht gefordert werden, kann aberr. Man kann es später als redundantes Axiom aufnehmen, aber man kann es auch aus der Peano-Axiomatik, s.o., ableiten.
Das ist eine Frage des Aufbaus: Möchte man bspw. vermöge der Einschränkung der Additionsabbildung, die zunächst über dem Körper der reellen Zahlen definiert ist, eine Addition auf den natürlichen Zahlen erklären, so kann man das Kommutativ-Gesetz erhalten, da der restriktionsmorphismus diese Eigenschaft der Additionsabbildung erhält.
Setzt man hingegen die reellen Zahlen nicht voraus, so ist es nicht erfoderlich bereits die Kommutativität zu fordern, da man keine kommutative Halbgruppen/Monoid-Struktur (bin mir da nicht sicher, und mag jetzt nicht nachschauen) definiert. Das wäre zu stark.
VG, dongodongo
ich hab aber auch andere beweise im Internet gefunden. Ob das ein Axiom ist kommt darauf an wie man die Zahlen einführt.
konnte keinen fehler finden. (ohne gewähr)