Aufgabe 1.2 kleinste Zahl gesucht?
1 Antwort
Gleich vorweg: Es gibt vielleicht auch einfachere Methoden, die ersten beiden Ziffern und die Anzahl der Ziffern der gesuchten Zahl zu berechnen. Allerdings ist mir spontan kein besserer Weg eingefallen, als der, den ich im Folgenden beschrieben habe.
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Nenne die gesuchte Zahl x.
Die Bedingungen sind äquivalent dazu, dass...
... für alle k von 9 bis 104 ist.
Eine Zahl, welche das entsprechende Kongruenzsystem löst ist offensichtlich -8. Die Lösungen des Systems sind durch...
... mit ganzen Zahlen m gegeben. Die kleinste natürliche Zahl x, welche dies erfüllt ist...
Die größten Primzahlpotenzen, die in {9, 10, 11, ..., 102, 103, 104} enthalten sind, sind 2⁶, 3⁴, 5², 7², 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103. Damit kann man sich überlegen (und zeigen), dass gilt:
Das kann man nun in den Taschenrechner eingeben, was dann...
..., liefert. (Die Zahl ist zu groß, als dass mein Taschenrechner sie komplett anzeigt. Das ist aber im Moment auch gar nicht so wichtig. Da uns erst einmal die ersten beiden Ziffern und die Anzahl der Ziffern interessieren.) Dazu -8 addiert, ändert nichts an der angezeigten Zahl.
Man kann erkennen, dass 72 die beiden ersten Ziffern sind und die Zahl 14 Ziffern hat.
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Nun interessieren noch die letzten beiden Ziffern, sowie die letzte Ziffer der Hexadezimaldarstellung.
Die letzten beiden Ziffern (im Dezimalsystem) entsprechen dem Rest bei Division durch 100. Aufgrund der Voraussetzungen...
Rest bei Division durch 104 ist 96.
Rest bei Division durch 103 ist 95.
Rest bei Division durch 102 ist 94.
Rest bei Division durch 101 ist 93.
Rest bei Division durch 100 ist 92.
[...]
... sind die letzten beiden Ziffern der gesuchten Zahl 92.
Für die letzte Ziffer in der Hexadezimaldarstellung brauch man den Rest bei Division durch 16. Aufgrund der Voraussetzungen...
Rest bei Division durch 9 ist 1.
Rest bei Division durch 10 ist 2.
Rest bei Division durch 11 ist 3.
[...]
Rest bei Division durch 16 ist 8.
[...]
... ist 8 die letzte Ziffer in der Hexadezimaldarstellung der gesuchten Zahl.
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Die gesuchte Zahl ist übrigens...
725301063514698899942645214354053893901390392
Vielen Dank. Du hast uns mega geholfen. Du hast nicht zufällig Ahnung von harmonischen Brücken ;|
Naja. Ein wenig. Ich habe auch schon deine Frage dazu gesehen. Aber ich gehe jetzt lieber schlafen. Evtl. morgen, falls ich Zeit habe und daran denke.
Übrigens ist mir bei meiner Antwort noch ein Fehler aufgefallen: Die gesuchte Zahl hat 15 Ziffern, nicht 14. (Bei so Zahlen in wissenschaftlicher Notation muss man zum Exponenten der Zehnerpotenz noch 1 addieren, um die Anzahl der Ziffern zu erhalten. Beispielsweise wäre bei 3,62 ⋅ 10² = 362 die Anzahl der Ziffern auch 3, nicht 2.)
Edit: Wobei mir gerade aufgefallen ist, dass 15 Ziffern gar nicht zur von mir am Ende meiner Antwort angegeben Zahl passt. Da habe ich mich irgendwo verrechnet. Ich schau gleich nochmal nach, wo.
OK. Ich habe den Fehler gefunden. Die Zahl im Taschenrechner ist
7,253010635 ⋅ 10⁴⁴
statt
7,253010635 ⋅ 10¹⁴
gewesen. Da habe ich mich wohl beim Abschreiben beim Exponenten vertippt.
Die Zahl hat demnach 45 Ziffern. Dass passt nun auch zur Anzahl der Ziffern, die ich bei der Zahl
725301063514698899942645214354053893901390392
zähle.
Jetzt aber erst einmal: Gute Nacht!
Sehr schön.
Ich kam auf eine Zahl (3491888392), die für 60 dieser 96 Zahlen die Bedingungen erfüllt, und zur Erkenntnis, dass sich die gesuchte Zahl ausdrücken lässt durch
3491888392 + k * 3491888400
ausdrücken lässt.
Danach kam Excel - das ich als Rechenhilfe nutzte - an seine Genauigkeitsgrenzen.
Uuups. Mir ist gerade aufgefallen, dass versehentlich überall „ggT“ geschrieben habe, wo eigentlich „kgV“ stehen sollte. Das kann ich leider nicht mehr in der Antwort ändern, da die Bearbeitungszeit der Antwort bereits abgelaufen ist.