Wie löst man diese Aufgabe?
Hier seht ihr die Aufgabe:
Das Ergebnis habe ich jetzt von den Lösungen abgeschrieben. Ich weiß allerdings nicht, wie man auf dieses Ergebnis kommen soll. Kann mir das bitte jemand mal erklären?
5 Antworten
Wenn du durch einen Bruch teilst (dieser Bruch steht dann nach dem Divisionszeichen), bildest du seinen Kehrwert und multiplizierst damit.
Achtung! Die Brüche nicht verwechseln! (Der zweite wird umgedreht.) So ist es normalerweise.
Hier allerdings steht noch -3 hinter dem ersten Bruch.
Deshalb muss dieser zuallererst gestürzt werden.
(a/b)⁻³ / (a/(2b))²)
= (b/a)³ / (a/(2b))² | jetzt 2. Bruch
= (b/a)³ * ((2b)/a)² | Potensgesetze
= b³/a³ * (4b²/a²) | auf einen Bruch
= (b³ * 4b²)/(a³ * a²) | zusammenfassen
= 4 b⁵ /a⁵ = 4a⁻⁵b⁵ = 4(a⁻¹b)⁵
= 4 * (b/a)⁵
= 4 * (a/b)⁻⁵
Die letzten drei Zeilen sind als Ergebnisse
geeignet, deine auch, aber die anderen sind
übersichtlicher.
Das oben war Potenzgesetz. Jetzt kommt "Durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrwert Multipliziert."
(a / b) ^ - 3 ist dasselbe wie (b / a) ^ 3
Also hast du dann :
(b / a) ^ 3 / (a / (2 * b)) ^ 2
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert malnimmt, also :
(b / a) ^ 3 / (a / (2 * b)) ^ 2 = (b / a) ^ 3 * (2 * b / a) ^ 2
Und das rechnest du jetzt einfach aus :
(b / a) ^ 3 * (2 * b / a) ^ 2 = b ^ 3 / a ^ 3 * 4 * b ^ 2 / a ^ 2 = 4 * b ^ 5 / a ^ 5
4 * b ^ 5 / a ^ 5 ist dasselbe wie 4 * a ^ - 5 * b ^ 5, also :
4 * b ^ 5 / a ^ 5 = 4 * a ^ - 5 * b ^ 5
Ich finde die Schreibweise 4 * b ^ 5 / a ^ 5 aber besser als die, die in deiner Lösung genannt wurde.
Nun, es ist hilfreich sowohl Termrechnen wie auch die Rechenregeln für Potenzen zu kennen. Wo genau hakt es denn da bei dir? Welche Regeln für Potenzen sind dir bekannt? Weißt du wie du das : (eine in solchen Rechenketten eher verwirrende Rechenoperation, die meiner Ansicht nach ab der 8. Klasse abgeschafft gehört) in einen Bruch umwandelst? Wenn nicht, dann steht dir viel Arbeit bevor, denn ohne diese Grundlagen kannst du das auch nicht verstehen.
Die Denkanstöße habe ich dir bereits gegeben. Die Potenzen in den Bruch ziehen, die negative Potenz in den Kehrbruch verwandeln, das : Zeichen als Bruch auflösen.
Ich checke zum Beispiel nicht, wie man am Ende auf die 4a kommen soll. Die Exponenten muss man subtrahieren, das ist mir klar.
Die 4 kommt von der 2 bei b, die quadriert wird. Die steht nicht beim a. Das a steht wegen seiner negativen Potenz unter dem Bruchstrich. Schreibe die Musterlösung noch mal in einem Bruch mit lediglich positiven Potenzen um, dann siehst du es besser.
Ich würde zuerst das potenzieren durchführen, damit die oben weg sind.
(a/b)^-3 = a^-3 : b^-3
Verstehst Du den Schritt ?
Hatte das alles schon mal vor Jahren. Ist Wiederholung. Wir hatten jetzt nochmal alle Rechenoperationen mit Potenzen wiederholt. Ich brauche in der Regel nur einen Denkanstoß, dann kann ich es auch selbstständig lösen.