Ungelichung lösen?

25e^(-0,2x)-25e^(-0,8x) > 7

Wie löse ich das nach x auf

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

setz alles gleich Null, löse die Gleichung dann durch Substitution etc. nach x auf und prüf nach, ob sie zwischen den Nullstellen kleiner oder größer als Null ist.

Dann ist der Bereich, der gesucht wird, entweder außerhalb oder innerhalb der beiden Nullstellen.

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[Lol2727363271]

Aber ich verstehe das nicht. Es ist doch eine Ungleichung ich kann es nicht gleich 0 setzen

[Willy1729]

@Lol2727363271

Natürlich kannst Du das. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen verläuft eine ganzrationale Funktion entweder oberhalb oder unterhalb der x-Achse (Ausnahme ist die Funktion y=0, denn die ist mit der x-Achse identisch).

Du suchst also zunächst die Nullstellen der Gleichung, dann weißt Du, wo die Bedingung der Ungleichung zutrifft oder nicht.

Answer 2

[mihisu]

Sicher, dass du dich da nicht verschrieben hast? Die Lösungen sind jetzt nicht gerade „schön“.

============

Ich würde zunächst einmal e^(-0,2x) substituieren...

$25\cdot \text{e}^{-0\text{,}2 x}-25\cdot \text{e}^{-0\text{,}8 x}>7$

$\Leftrightarrow\quad 25\cdot \text{e}^{-0\text{,}2 x}-25\cdot \text{e}^{-0\text{,}2 x\cdot 4}>7$

$\Leftrightarrow\quad 25\cdot \text{e}^{-0\text{,}2 x}-25\cdot \left(\text{e}^{-0\text{,}2 x}\right)^{4}>7$

$\xLeftrightarrow{z:=\text{e}^{-0\text{,}2 x}}\quad 25\cdot z-25\cdot z^{4}>7$

[7 subtrahieren und die Summanden auf der linken Seite etwas umsortieren...]

$\Leftrightarrow\quad -25\cdot z^{4}+25\cdot z-7>0$

Dann würde ich diese Ungleichung nach z auflösen. Dazu würde ich zunächst die Gleichung...

$\left[*\right]:\quad -25 z^4+25z-7=0$

... betrachten. Diese lässt sich jedoch nicht so „schön“ auflösen. [Du wirst gleich noch sehen, wie „hässlich“ die Lösungen aussehen.] Man könnte Näherungsverfahren nutzen, um die Lösungen näherungsweise zu bestimmen. Bzw. gibt es auch Lösungsformeln zum exakten Lösen einer solchen Gleichung 4-ten Grades [https://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung], die aber kaum jemand auswendig weiß. Jedenfalls würde man dann als reellwertige Lösungen der Gleichung [*] die folgenden Werte erhalten...

$z_1=\frac{1}{30} \, \sqrt{3} \sqrt{5 \, {\left(\frac{3}{2} \, \sqrt{334067} \sqrt{3} + \frac{3375}{2}\right)}^{\frac{1}{3}} + {\left(-\frac{375}{2} \, \sqrt{334067} \sqrt{3} + \frac{421875}{2}\right)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{2} \, \sqrt{-\frac{1}{15} \cdot 3^{\frac{1}{3}} {\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{1002201} + \frac{1125}{2}\right)}^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{75} \, {\left(-\frac{375}{2} \, \sqrt{334067} \sqrt{3} + \frac{421875}{2}\right)}^{\frac{1}{3}} + \frac{10 \, \sqrt{3}}{\sqrt{5 \, {\left(\frac{3}{2} \, \sqrt{334067} \sqrt{3} + \frac{3375}{2}\right)}^{\frac{1}{3}} + {\left(-\frac{375}{2} \, \sqrt{334067} \sqrt{3} + \frac{421875}{2}\right)}^{\frac{1}{3}}}}}$

$z_2=\frac{1}{30} \, \sqrt{3} \sqrt{5 \, {\left(\frac{3}{2} \, \sqrt{334067} \sqrt{3} + \frac{3375}{2}\right)}^{\frac{1}{3}} + {\left(-\frac{375}{2} \, \sqrt{334067} \sqrt{3} + \frac{421875}{2}\right)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{2} \, \sqrt{-\frac{1}{15} \cdot 3^{\frac{1}{3}} {\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{1002201} + \frac{1125}{2}\right)}^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{75} \, {\left(-\frac{375}{2} \, \sqrt{334067} \sqrt{3} + \frac{421875}{2}\right)}^{\frac{1}{3}} + \frac{10 \, \sqrt{3}}{\sqrt{5 \, {\left(\frac{3}{2} \, \sqrt{334067} \sqrt{3} + \frac{3375}{2}\right)}^{\frac{1}{3}} + {\left(-\frac{375}{2} \, \sqrt{334067} \sqrt{3} + \frac{421875}{2}\right)}^{\frac{1}{3}}}}}$

[Neben diesen zwei reellwertigen Lösungen, gibt es auch noch zwei nicht-reellwertige komplexe Lösungen, die hier aber nicht relevant sind.]

Als Näherungswerte der beiden Lösungen (gerundet auf 10 Nachkommastellen), erhält man übrigens...

$z_1\approx 0\text{,}2867621932$

$z_2\approx 0\text{,}8801764282$

Außerdem kann man anhand des negativen Koeffizienten „-25“ vor dem „z⁴“ erkennen, dass der Term -25z⁴ + 25z - 7 für betragsmäßig große z-Werte negativ ist. Dementsprechend kann man folgern, dass gilt...

• -25z⁴ + 25z - 7 < 0 für z < z₁
• -25z⁴ + 25z - 7 = 0 für z = z₁
• -25z⁴ + 25z - 7 > 0 für z₁ < z < z₂
• -25z⁴ + 25z - 7 = 0 für z = z₂
• -25z⁴ + 25z - 7 < 0 für z > z₂

Dementsprechend erhält man nun weiter beim Lösen der Ungleichung...

$-25z^4+25z-7>0$

$\Leftrightarrow\quad z_1 < z < z_2$

$\xLeftrightarrow{z=\text{e}^{-0\text{,}2 x}}\quad z_1<\text{e}^{-0\text{,}2 x}<z_2$

$\Leftrightarrow\quad \ln(z_1)<-0\text{,}2 x<\ln(z_2)$

$\Leftrightarrow\quad -5\cdot \ln(z_1)>x>-5\cdot \ln(z_2)$

$\Leftrightarrow\quad \underbrace{-5\cdot \ln(z_1)}_{x_{1}:=}>x>\underbrace{-5\cdot \ln(z_2)}_{x_2:=}$

Die Lösungen der Ungleichung sind also die x mit...

$x_2<x<x_1$

..., wobei...

$x_1=-5\cdot \ln(z_1)\approx -5\cdot \ln(0\text{,}2867621932)\approx 6\text{,}2455100096$

$x_2=-5\cdot \ln(z_2)\approx -5\cdot \ln(0\text{,}8801764282)\approx 0\text{,}6381645249$

... ist.

====== Ergänzung ======

Grafische Veranschaulichung, welche aber nur bedingt hilfreich für ein exaktes Auflösen der Ungleichung ist...

Comments

[Lol2727363271]

Die Konzentration eines Medikaments im Blut wird durch die funktion 25e^(-0,2x)-25e^(-0,8x) beschreiben. Das Medikament wirkt wenn die Konzentration über 7 mg/l liegt. Aufgabe: berechnen sie den Zeitraum in dem das Medikament wirkt

[rixtwix007]

Wie bist du auf die exakte Lösung gekommen?

[mihisu]

@rixtwix007

Naja, theoretisch kann man da entsprechende Lösungsformeln verwenden. [Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung]

Ich habe da aber einfach die Gleichung von WolframAlpha lösen lassen...

https://www.wolframalpha.com/input?i=Solve%5B-25+z%5E4+%2B+25+z+-+7+%3D%3D+0%2C+z%5D

[Dort dann beim Ergebnis auf die Schaltfläche „Exact Forms“ klicken.]

Bzw. könnte man auch direkt die gesamte Ungleichung von WolframAlpha lösen lassen...

https://www.wolframalpha.com/input?i=Reduce%5B25+Exp%5B-0.2+x%5D+-+25+Exp%5B-0.8+x%5D+%3E+7%2C+x%5D

[rixtwix007]

@mihisu

Ah, danke dir!