Transsexualität ist im Islam erlaubt. Ayatollah Khamenei erklärt es wie folgt:

Frage: Es gibt Personen, die äußerlich (zwar) männlich sind, aber von den psychischen Aspekten her einige Eigenschaften der Weiblichkeit haben, und sie haben vollständige weibliche sexuelle Neigungen, so dass, falls sie ihr Geschlecht nicht umwandeln, sie in Verderbnis geraten werden. Ist es dann erlaubt, sie durch die Durchführung einer Operation zu behandeln?

Antwort: Die erwähnte Operation ist zulässig, wenn sie für die Auf-deckung und Offenlegung der tatsächlichen Identität erfolgt, mit der Voraussetzung, dass diese (Operation) nicht mit einer verbotenen Handlung verbunden ist und keine Verderbnis daraus folgt. 

Es ist wichtig zwischen Transsexualität und Transvestitismus zu differnzieren. Letzterer ist im Islam unzulässig, das heißt Frauen dürfen sich nicht wie Männer kleiden und andersherum genauso:

Es ist von Abū ʿAbdillāh (aṣ-Ṣādiq) und Abū Ibrāhīm (al-Kāẓim) erzählt worden, dass sie sagten: Gottes Gesandter (ṣ.) sagte: „Gott verfluche diejenigen von den Frauen, die die Männer nachahmen und Gott verfluche diejenigen von den Männern, die die Frauen nachahmen.“ [Al-Kafi von Al-Kulaini, Band 5, Seite 552]

Wie die Gesellschaft darauf reagiert, ist sicherlich ganz unterschiedlich.

Das Thema Gender ist in der islamischen Gesellschaft eher unbedeutend. Es gibt natürlich auch einen islamischen Feminismus, der sich unter anderem mit gendersensibler Sprache befasst:

Der islamische Feminismus befasst sich mit der Rolle der Frau in der islamischen Gesellschaft. Er zielt auf die Gleichheit aller Muslime, ungeachtet des Geschlechts, im öffentlichen und privaten Leben. Muslimische Feministinnen vertreten Frauenrechte, Gleichstellung der Geschlechter, Gleichberechtigung und soziale Gerechtigkeit in der islamischen Gesellschaft. Obwohl im Islam verwurzelt, haben die Pioniere der Bewegung auch säkulare und westliche Diskurse verwendet und sie sehen die Rolle des islamischen Feminismus als Teil einer weltweiten feministischen Bewegung. [...] Generell kann er als eine eher liberale Bewegung im Islam eingestuft werden [...] Vor diesem Hintergrund wurden Frauenvereine (z. B. Zentrum für Islamische Frauenforschung und -förderung (ZIF)) gegründet, die Frauenrechte und das Selbstverständnis der Frauen fördern. Sie bieten muslimischen Frauen spezielle Angebote wie z. B. Rechtsberatung, Korankurse oder stellen Diskussionsforen dar, in denen eine gendergerechte Auslegung des Islams praktiziert wird. [Wikipedia]

Gendersensible Sprache ist ein Bestandteil des islamischen Feminismus. Allerdings kennt der Islam das Konzept des sozialen Geschlechtes (Gender) gar nicht. Der zitierte Wikipedia-Artikel sagte aber, dass sich besagte Feministen auch auf nicht-islamische Quellen berufen.

In der islamischen Welt ist Gendern ein wenig beachtetes Thema.