Zunächst mal: Das ist eine Funktion mit einer Variablen (dem x) und einem Parameter (dem a).

x³- 3a²x+2a³= 0

Das wäre der Ansatz. Nun steht da x³. Für solche Gleichungen (Gleichungen dritten Grades) gibt es zwar eine Lösungsformel, die aber irrsinnig kompliziert ist und darum nur selten verwendet wird. Besser, man versucht eine Nullstelle zu erraten und macht dann eine Polynomdivison.

Man würde es hier zunächst mit x=a versuchen. Das eingesetzt ergibt:

a³ - 3a²·a + 2a³ = 3a³ - 3a³ = 0

Schon haben wir eine Nullstelle, nämlich x=a. Jetzt machst du eine Polynomdivision:

(x³- 3a²x+2a³) : (x-a)

Es sollte x² + ax - 2a² herauskommen.

Nun löst du noch die Gleichung x²+ax-2a²=0. pq-Formel, "Mitternachtsformel" oder quadratische Ergänzung, wie du willst.

Es gibt keine letzte Zahl.

Beweis:

Wenn n eine Zahl ist, dann ist auch n+1 eine Zahl und es gilt n+1>n.

Angenommen, es gäbe eine "letzte Zahl". Nennen wir sie L. Dann muss aber auch L+1 eine Zahl sein, denn zu jeder Zahl darf 1 addiert werden. Aber es wäre dann auch L+1>L und entgegen der Annahme wäre L doch nicht die "letzte Zahl" ->Widerspruch!
Die Annahme für auf einen Widerspruch und muss daher falsch sein. Es gibt also keine "letzte Zahl".

Obiges Beweisverfahren nennt man indirekten Beweis.

wie die Dezimalzahl 0,111111111111111... ( bzw. 0,1 ) als Bruch darstellen kann ?

0,111111111111111... = 1/9

Ich schreibe das hier bei gf oft auch so: 0,[periode]1, oder noch kürzer: 0,p1.

Die Umrechnung für reinperiodische Dezimalzahlen geht so: Man nehme die Periode als ganze Zahl, schreibe die in den Zähler; in den Nenner schreibe man eine Zahl, bestehend aus sovielen Neunern, wie die Periode lang ist (dann noch kürzen, falls möglich). Beispiel:

0,060606060606060606.... also 0,p06, das ergibt als Bruch 6/99 = 2/33.

Entsprechend: 0,p3 = 3/9 = 1/3

oder

0,p37 = 37/99

etc

Etwas aufwendiger ist es mit gemischt-periodischen Dezimalzahlen (also solche, bei denen erst noch eine Vorperiode kommt). Beispiel:

0,2555555... (bzw 0,2p5)

Diese Zahl hat eine Vorperiode, die 2. Dafür gibt es eine Formel (http://de.wikipedia.org/wiki/Dezimalsystem#Formel), aber die Formel muss man sich nicht merken, es geht auch so:

0,2p5 = | Komma verschieben und zum Ausgleich durch 10 teilen

2,p5 / 10 =

2/10 + 0,p5 / 10 = | Regel für reinperiodische anwenden

2/10 + (5/9)/10 =

2/10 + 5/90 =

18/90 + 5/90 =

23/90

Etwas umständlich vielleicht, aber nicht wirklich schwierig, wenn man Bruchrechnung kann.

weil eine Aufgabe hieß, man solle zwei Geraden zeichnen die sich zweimal schneiden. Deutsches Bildungssystem und so, haha...

Wie lautete die Aufgabe denn wörtlich?

Allerdings meinte dann (ich nehme mal ein ein Mathestudent?!) neben uns, wenn man im vier- oder gar mehrdimensionalen rechne, sei das durchaus möglich.

Das stimmt keineswegs. Zwei Geraden haben entweder genau einen Schnittpunkt, oder keinen (in der Ebene wären sie dann parallel, in mehr als zwei Dimensionen entweder auch parallel oder windschief), oder sie fallen zusammen.

BTW: in der euklidischen Geometrie der schneiden sich zwei Parallele nicht "im Unendlichen" sondern haben (per Definition) eben keinen Schnittpunkt. (Man kann formal "unendlich ferne Punkte" hinzunehmen, in denen sich Parallele dann schneiden - aber dann ist es auch keine euklidische Geometrie mehr, sondern eine Erweiterung derselben, oder überhaupt was anderes, je nachdem was man da genau macht).

ändert sich ja nichts daran, dass zwei Geraden sich nicht oder wenn nur an EINEM Punkt schneiden.

Ja. Vielleicht bestand die Aufgabe ja darin, zu folgern "wenn zwei Gerade zwei verschiedene Punkt gemeinsam haben, dann fallen sie zusammen".

Ich verstehe nich was die zusätzliche Dimension daran änder sollte,

Nichts. Das einzige, was hier dazu kommt, ist die Möglichkeit zweier Geraden windschief zu sein, also keinen Schnittpunkt zu haben, ohne jedoch parallel zu sein. Aber es bleibt bei den Möglichkeiten: keinen Schnittpunkt, oder genau einen, oder sie fallen zusammen.

Du hast hier eine Gleichung, und zwar einen Bruchterm, der gleich 0 sein soll.

Betrachte mal das hier:

a/b = 0 | mal b und gleich kürzen

a = 0

Du musst nur den Zähler gleich 0 setzen. Ein Bruch bzw ein Bruchterm ist gleich 0 genau dann, wenn der Zähler gleich 0 ist (wobei der Nenner natürlich nie 0 sein darf; aber dein Nenner wird ja auch nicht 0)

Betrachtet man nicht nur endliche Mengen, sondern auch unendliche, dann spricht man nicht mehr von "gleich vielen Elementen" oder dass sie "gleich groß" wären, sondern von "gleichmächtig". Bzw die "Mächtigkeit einer Menge" entspricht bei endlichen Mengen der Anzahl ihrer Elemente. Unendliches kann man nicht zählen, darum muss man hier erst definieren, was mit "gleichmächtig" gemeint ist.

Man definiert: Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn man mindestens eine Zuordnung zwischen den Elementen von A und B finden kann, sodass weder bei A noch bei B irgendein Element übrigbleibt.
Kürzer: Es muss eine bijektive Abbildung zwischen A und B möglich sein.

Bei deinem Beispiel könnte man es so machen:

1 <-> 0
2 <-> 1
3 <-> -1
4 <-> 2
5 <-> -2
6 <-> 3
7 <-> -3
8 <-> 4

etc

Es gibt zwischen {1, 2, 3, 4, 5, ... } und {... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... } eine Zuordnung, sodass beiderseits kein Element übrigbleibt. Per Definition sind diese Mengen also gleichmächtig. Umgangssprachlich mag man meinetwegen auch sagen "die Mengen sind gleich groß".

ab diesem Punkt komme ich nicht mehr weiter. Muss ich dann irgendwie die Werte der Intervalleingrenzung einsetzen?

Du musst halt schauen, für welche k der Wert π/4+kπ im Intervall liegt.

Das Intervall war [0;2π]. Damit kommen schonmal keine negativen Werte in Frage, dh bei deinem x=π/4+kπ kommen für k nur nichtnegative ganze Zahlen in Frage (denn schon für k=-1 hätten wir ja ein negatives x).

Für k=0 bekommen wir π/4, für k=1 bekommen wir π/4+π = 5/4π, das passt beides. Für k=2 sind wir aber schon außerhalb des Intervalls. Fertig.

Ja, man kann das auch formal machen. Dazu würde man so umformen: π/4+kπ = π/4+4kπ/4 = 5k/4π. Da dieser Wert innerhalb von [0;2π] liegen muss, sind diejenigen Werte von k gesucht, für die 0≤5k/4≤2 gilt. Aber ich finde, dieser Teil der Aufgabe ist so einfach, dass man das nicht formal machen muss.

Er ist eben deswegen um nur um 7 Jahre galtert, weil für ihn (in seinem Raumschiff bzw in seinem Bezugssystem) nur 7 Jahre vergangen sind.
Das beantwortet auch schon deine Frage. Die 7 Jahre kommen ihm wie 7 Jahre vor, und zwar deswegen, weil es in seinem Bezugssystem tatsächlich 7 Jahre waren.

Wie löst man Rechnungen, die weder die gleichen Basen, noch die gleichen Exponenten haben? Also: a (hoch) p * b (hoch) q.

Da kann man nichts vereinfachen.

Bsp.: 5 (hoch) 4 * 2 (hoch) 3
Gibt es eine Möglichkeit das zu lösen, ohne die einzelnen Potenzen vorher auszurechnen und dann zu multiplizieren?

Bei diesem speziellen Beispiel könnte man es so machen:

5^4 * 2^3 = 5 * 5^3 * 2^3 = 5 * (5*2)^3 = 5 * 10^3 = 5 * 1000 = 5000

Das bietet sich an, weil wir im Dezimalsystem rechnen und du 2 und 5 als Basis deiner Potenzen genommen hattest.
Dagegen, wenn du zB das hier hättest:
7^4 * 11^3
Da lässt sich nichts einfacher rechnen.

Einfachstes Beispiel: Eine Linie (eine Gerade) ist 1-dimensional. Aber sie ist nicht "die erste Dimension".

"Dimension" ist eine Maßzahl, die angibt, wieviele Koordinaten man mindestens braucht, um die Lage eines Punktes in einem Raum zu bestimmen. Eine Linie ist aber nicht die "erste Dimension" sondern ist eindimensional; eine Fläche ist nicht die "zweite Dimension" sondern ist zweidimensional etc.

Es gibt keine "erste Dimension", keine "zweite Dimension", keine "dritte Dimension" etc, sondern nur eindimensionale Räume, zweidimensionale Räume, dreidimensionale Räume etc.

Ansonsten: Lies mal hier: http://www.gutefrage.net/frage/mehr-als-3-dimensionen#answer35175199

Dann nimmt man die Ecken aus dem Quadrat raus sodass des Umfang 4 bleibt. Dies wiederholt man

Dadurch erhälst du eine Folge; eine Folge geometrischer Figuren.

Dies wiederholt man nun in die Unendlichkeit, Unendlich = Perfekter Kreis.

Richtig. Etwas präziser: Der Limes der Folge deiner geometrischen Figuren ist ein Kreis.

Aber der Umfang bleibt 4.

Ebenfalls richtig. Jede Figur aus dieser Folge hat immer den Umfang 4.

Nun die Frage:

Das ist ein Beispiel dafür, dass aus der Konvergenz einer Folge von Linienzügen gegen eine Grenzfigur nicht folgt, dass auch Folge der Längen dieser Linienzüge gegen die Länge (in diesem Fall: Umfang) der Grenzfigur konvergiert.

Die Längen der Linienzüge konvergieren nur dann gegen die Länge (bzw den Umfang) der Grenzfigur, wenn sich diese Linienzüge an die Grenzfigur "anschmiegen"; dh, wenn die Tangenten an die Linienzüge gegen die Tangenten der Grenzfigur streben. Das ist bei deiner Konstruktion nicht so, und darum bekommst du 4 statt π.

Betrachte dagegen die Konstruktion des Archimedes mit den Vielecken. Man sieht sehr deutlich das "anschmiegen". Die Kanten -- deren Verlängerungen eben die Tangenten des Vielecks sind-- sind immer parallel zur entsprechenden Kreistangente, und streben mit wachsender Eckenzahl auf die Kreistangenten zu. Das ist bei deiner Konstruktion nicht so.