Du kannst, wie schon erwähnt, schreiben, dass Du von der Vakanz von Deiner Mutter erfahren hast. Mehr nicht - meiner Meinung nach. Alles andere ist Laberei und gehört da nicht rein.

Es ist dann anschließend wichtiger zu schreiben, warum Du Dich bewirbst, weshalb Du der Richtige bist und was Du mitbringst.

Tipp: Verwende aktive Formen, also keine passive Verben (hätte, könnte, möchte, sondern: machen, habe ich erstellt, arbeite derzeit aktiv an, etc.) ... Der Arbeitgeber muss Dich, während er das Anschreiben liest, schon arbeiten sehen; eben durch aktive Verbformen. (Wichtiger ist oftmals mehr der Lebenslauf.)