Es gibt drei verschiedene Fälle.

Fall A) Die jeweils gegenüberliegenden Winkel des Vierecks sind gleich. Das ist der Fall bei Rechteck (Spezialfall Quadrat) und Parallelogramm (Raute). In diesem Fall halbieren sich die beiden Diagonalen.

Fall B) Zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich und die beiden anderen gegenüberliegenden Winkel sind nicht gleich. Das ist der Fall bei einem Drachen.. In diesem Fall halbiert die erste Diagonale die zweite Diagonale,

Fall C) Kein Paar gegenüberliegender Winkel ist gleich. Das ist z.B. der Fall in einem Trapez aber auch noch in vielen anderen "per Hand" frei gezeichneten Vierecken. In diesem Fall halbieren sich keine der Diagonalen.

Ich habe daszu mal ein Bild. gemalt.

Jetzt die 2. Richtung.

Annahme Q ist in R offen.

Weil Q offen ist: Sei q aus Q und es sei epsilon>0 und für alle y aus R mit Betrag(x-y) < epsilon gilt; y ist aus Q. Die spannende Frage ist jetzt: Gibt es eine nicht-rationale Zahl, die in dem Intervall [x-epsilon,x+epsilon] liegt?

Sei n aus N mit (wurzel(2)/n)<epsilon … nennen wir dieses (wurzel(2)/n) mal wie "oben" „Schrittweite“. Damit ist das Intervall [x-epsilon,x+epsilon] mindestens doppelt so lang wie die Schrittweite.

Daraus folgt: Wenn ich von 0 beginnend in der Schrittweite auf das Intervall „los gehe“, werde ich das Intervall irgendwann treffen. Also: Es gibt ein m aus N mit (m*wurzel(2)/n) liegt in dem Interval [x-epsilon,x+epsilon]

Jetzt bleibt noch zu zeigen: m*wurzel(2)/n ist NICHT aus Q.

Auch das mache ich wieder indirekt:

Annahme m*wurzel(2)/n ist aus Q.

Dann gibt es ganze Zahlen p und q mit m*wurzel(2)/n = p/q.

Jetzt bringen wir m und n auf die andere Seite und erhalten:

wurzel(2)= (pn)/(qm) ... und das ist falsch

Damit haben wir eine nicht-rationale Zahl in dem Interval und damit ist Q nicht offen in R.

Schöne Grüße

Hallo.

Der Beweis muss in 2 Richtungen erfolgen - jeweils als indirekter Beweis, (ich vermute, dass es leichter ist):

1. Richtung:

Annahme Q ist in R abgeschlossen. Dann muss die Komplementärmenge (R\Q) offen in R sein.

Weil R\Q offen ist: Sei x aus R\Q und es sei epsilon>0 und für alle y aus R mit Betrag(x-y) < epsilon gilt; y ist aus R\Q. Die spannende Frage ist jetzt: Gibt es eine rationale Zahl, die in dem Intervall [x-epsilon,x+epsilon] liegt?

Sei n aus N mit (1/n)<epsilon … nennen wir dieses (1/n) mal „Schrittweite“. Damit ist das Intervall [x-epsilon,x+epsilon] mindestens doppelt so lang wie die Schrittweite.

Daraus folgt: Wenn ich von 0 beginnend in der Schrittweite auf das Intervall „los gehe“, werde ich das Intervall irgendwann treffen (das kann man noch schöner mathematisch formulieren). Also: Es gibt ein m aus N mit (m/n) liegt in dem Interval [x-epsilon,x+epsilon] --> und damit m/n ist aus Q. --> Und damit ist die Annahme falsch, --> d.h. Q ist nicht abgeschlossen in R.

Bleibt noch die andere Beweisrichtung … die mache ich morgen.

Schöne Grüße