Hallo.

Der Beweis muss in 2 Richtungen erfolgen - jeweils als indirekter Beweis, (ich vermute, dass es leichter ist):

1. Richtung:

Annahme Q ist in R abgeschlossen. Dann muss die Komplementärmenge (R\Q) offen in R sein.

Weil R\Q offen ist: Sei x aus R\Q und es sei epsilon>0 und für alle y aus R mit Betrag(x-y) < epsilon gilt; y ist aus R\Q. Die spannende Frage ist jetzt: Gibt es eine rationale Zahl, die in dem Intervall [x-epsilon,x+epsilon] liegt?

Sei n aus N mit (1/n)<epsilon … nennen wir dieses (1/n) mal „Schrittweite“. Damit ist das Intervall [x-epsilon,x+epsilon] mindestens doppelt so lang wie die Schrittweite.

Daraus folgt: Wenn ich von 0 beginnend in der Schrittweite auf das Intervall „los gehe“, werde ich das Intervall irgendwann treffen (das kann man noch schöner mathematisch formulieren). Also: Es gibt ein m aus N mit (m/n) liegt in dem Interval [x-epsilon,x+epsilon] --> und damit m/n ist aus Q. --> Und damit ist die Annahme falsch, --> d.h. Q ist nicht abgeschlossen in R.

Bleibt noch die andere Beweisrichtung … die mache ich morgen.

Schöne Grüße