Zweiten Wohnsitz anmelden, braucht man Mietvertrag?

wir würden vorerst gerne als Zweitwohnsitz dann unsere Adresse beim Einwohnermeldeamt anmelden.

Nein, das geht nicht. Dein Freund muss sich als Hauptwohnsitz in dieser Wohnung anmelden. Das Bundesmeldegesetz definiert das nämlich ganz genau in §22:

(1) Hauptwohnung eines verheirateten oder eine Lebenspartnerschaft führenden Einwohners, der nicht dauernd getrennt von seiner Familie oder seinem Lebenspartner lebt, ist die vorwiegend benutzte Wohnung der Familie oder der Lebenspartner.

Du selbst brauchst dich nicht ummelden, deine Wohnanschrift ändert sich ja nicht. Aber ihr müsst euch dann, nachdem es eine separate Wohnung ist, für den Rundfunkbeitrag anmelden.

Die Frage ist nun, ob er beim Einwohnermeldeamt einen Mietvertrag vorlegen muss

Nein, sondern es wird eine Wohnungsgeberbestätigung benötigt, ie in dem Fall von deiner Mama zu unterschreiben wäre.

Nein, einen Mietvertrag braucht man dazu nicht. Vorgelegt werden muss aber eine Wohnungsgeberbestaetigung. Hier ein Formular der Stadt Muenster: https://www.stadt-muenster.de/fileadmin/user_upload/stadt-muenster/33_buergerservice/pdf/wohnungsgeberbestaetigung.pdf

In deiner Stadt wird moeglicherweise ein etwas anderes Formular mit gleichem Inhalt verwendet.

Die Wohnungsgeberbestaetigung wird vom Wohnungsgeber ausgestellt. Wenn es deine Wohnung ist (du sie von deiner Mutter gemietet hast), bist du das. Ist es weiterhin die deiner Mutter und sie laesst euch dort mietfrei wohnen, ist es deine Mutter.

Denkt daran, dass ihr euch beim Rundfunkbeitragsservice anmelden muesst, wenn ihr eine eigene Wohnung beszieht (egal ob gemietet oder mietfrei ueberlassen).

Zur Anmeldung braucht man keinen Mietvertrag vorzulegen, aber eine Einzugsbestätigung des Vermieters. Das Formular dafür kann man sich normalerweise auf der Website des Einwohnermeldeamts herunterladen.

Nein, nur die Wohnungsgeberbestätigung.

Er muss eine Vermieterbescheinigung vorlegen, die dann wohl deine Eltern erstellen müssen.