Wohin konvergiert/divergiert diese Reihe?

$\frac{0}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}...=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n+1}$ Ich hätte zuerst an 1 gedacht. Allerdings geht ja n/(n+1) bereits gegen 1, und wenn man die alle addiert, käme ja was Größeres aus. Undendlich?

Answer 1

[DerRoll]

Offensichtlich bilden die einzelnen Glieder der Reihe keine Nullfolge. Das ist aber das einfachste notwendige Kriterium für Konvergenz. Die Reihe ist somit divergent.

Comments

[evtldocha]

... und ich wollte schon die Kanone "Quotientenkriterium" rausholen, um auf den Spatzen zu schießen ;-)

Answer 2

[SadDad]

Die Reihe strebt nach Unendlich. Die Eins wäre ja schon bei + 2/3 überschritten.

Jeder folgende Summand nähert sich jedoch der 1 an.

Answer 3

[petronex]

Du kannst die einzelnen Summanden durch 1/n nach unten abschätzen.
Dann hast du genau die geometrische Reihe stehen: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\ \le\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n-1}{n}$

(Ich habe bei der zweiten reihe eine Indexverschiebung gemacht)
Die harmonische Reihe divergiert bekanntermaßen und damit auch deine Reihe.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik

Comments

[DerRoll]

Dann hast du genau die geometrische Reihe stehen:

Da muß noch was korrigiert werden :-). Das mit der harmonischen Reihe war auch mein erster Einfall, aber es geht einfacher...