Wie wandle ich eine Aufgabe mit einem Summenzeichen unter Verwendung der geometrischen Summenformel in eine Formel um?

Wie mach ich das?

Answer 1

[mihisu]

Mit geometrischer Summenformel...

$\sum\limits_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

... erhält man für q = 2...

$\sum\limits_{k=0}^{n}2^k=\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=\frac{1-2^{n+1}}{-1}=2^{n+1}-1$

2^(n + 1) - 1

Und mit Hilfe der geometrischen Summenformel für q = 1/2 erhält man...

$\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2^k}=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1^k}{2^k}=\sum\limits_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k$

$=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2\cdot\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)}{2\cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)}=\frac{2\cdot 1-2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{2\cdot 1-2\cdot \frac{1}{2}}$

$=\frac{2-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{2-1}=\frac{2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{1}=2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=2-\frac{1^n}{2^n}=2-\frac{1}{2^n}$

2 - 1/2^n

============

Dass 1^(n+1) - 1 nicht richtig sein kann, sollte dir doch allein schon deshalb klar sein, da 1^(n+1) - 1 offensichtlich gleich 0 ist.

$1^{n+1}-1=1-1=0$

Comments

[sparklingo]

Vielen Dank für die Erklärung. Das hat sehr geholfen! Ich gebe Ihnen den Stern sobald die 24 Stunden vorbei sind.