Ist die wurzelfunktion x^0.5 bijektiv oder injektiv für dwn grösstmöglichen Definitionsbereich?
1 Antwort
Was heisst grösstmöglichen Definitionsbereich? R^+ oder C? Beide sind überabzählbar und deshalb gleich groß. Die Aufgabe macht ohne Wertebereich keinen Sinn. Ansonsten:
Folgt aus f(x)=f(z) auch x=z, dann ist sie injektiv? Starte also mit beliebigen f(x)=f(z).
Folgt dass für jedes y aus dem Bild-Bereich ein x aus dem Urbild existiert, so dass y = f(x), dann ist die Funktion surjektiv. Starte also mit einem beliebigen y und zeige, dass ein x existiert, welches die Gleichung y=f(x) erfüllt. Wenn du dieses x gefunden hast, dann überprüfe ob tatsächlich eingesetzt in die Funktion y herauskommt.
Für R^+ ist beides erfüllt, somit ist die Wurzelfunktion auf R^+ bijektiv.