Hallo Al0n6,

die Anfangszeit t = 0 ist die bei maximaler Auslenkung, was die Schwingungsfunktion zu einer Cosinusfunktion, also einer Funktion der Form

(1) z(t) = −A∙cos(ωt)

macht. Dabei ist A die Amplitude, die Auslenkung von 5 cm bei t = 0 und ω = 2πf die sog. Kreisfrequenz von ca. 3,9 Hz.

Die Funktion der Geschwindigkeiten ergibt sich aus der ersten Ableitung

(2) dz/dt = Aω∙sin(ωt)

und die der Beschleunigungen aus der zweiten Ableitung

(3) d²z/dt² = Aω²∙cos(ωt).

Bei der Teilaufgabe c schaffe ich es nicht die Zeit auszurechnen an der v=0,1m/s ist.

Du setzt in (2) für dz⁄dt einfach v = 0,1 m⁄s ein:
       v = Aω∙sin(ωt)
⇔ v/(Aω) = sin(ωt)
⇔ arcsin(v/(Aω)) = ωt
⇔ (¹⁄ω)∙arcsin(v/(Aω)) = t

Hallo Fragesteller,

Ist der Massendefekt beim Alphazerfall die masse des Heliumkerns der über e=mc2 die zerfallsenergie bestimmt?

meinst Du "... die Masse des Heliumkerns, der über E=mc² die Zerfallsenergie bestimmt"? Das tut er nicht. Dass der Heliumkern im Tochterkern "fehlt" und dadurch Letzterer um ca. 4u leichter ist, würde man nicht "Massendefekt" nennen.

Oder meinst Du "... oder über E=mc² ..."? Dann Letzteres. Die insgesamt freigesetze Energie, geteilt durch c², ist die Masse, um die der Tochterkern und der Heliumkern zusammen leichter sind als der Mutterkern.

... dass alle Nukleonen vorher und nachher nicht die gleiche masse haben?!

Ja, die durchschnittliche Masse der Nukleonen ist nach dem Zerfall kleiner. Übrigens ist sie bei Eisen 56 am kleinsten und wird nach beiden Seiten größer. Deshalb setzt bei leichteren Atomkernen die Kernfusion Energie frei, bei schweren die Spaltung.

Hallo Felixmagpizz640,

wie das Wort 'Zeitdilatation' ist das Wort 'Längenkontraktion' irreführend, suggeriert sie doch ein brontales Gezerre und Gequetsche, wo in Wirklichkeit nur eine völlig gewaltfreie Uminterpretation vorliegt.

Damit ist die Umrechnung zwischen zwei raumzeitlichen Koordinatensystemen Σ und Σ' gemeint.

Σ ist ein von einem Raumfahrzeug B aus definiert, relativ zu dem sich ein zweites Raumfahrzeug B' mit konstanter 1D-Geschwindigkeit v (in x-Richtung von Σ) bewegt. B selbst wird in Σ natürlich als stationär bei (x; y; z) = (0; 0; 0) beschrieben.

Σ' ist, wie die Bezeichnung verrät, von B' aus definiert; wir wollen annehmen, dass es dieselbe räumliche Ausrichtung hat wie Σ. In Σ' wird natürlich B' als bei (x'; y'; z') = (0; 0; 0) ruhend und B als mit konstanter 1D-Geschwindigkeit−v (gleiches Tempo, entgegengesetzte Richtung) bewegt beschrieben.

GALILEIs Relativitätsprinzip (RP) sagt nun aus, dass die grundlegenden Beziehungen zwischen physikalischen Größen (nichts anderes sind Naturgesetze) in Σ und Σ' identisch sind. Zu seiner Zeit waren freilich nur die Gesetze der Mechanik bekannt (eigentlich hat auch die erst NEWTON mathematisch formiert).

Erst zwei Jahrhunderte später formulierte MAXWELL die Gesetze der Elektrodynamik und konnte die Existenz elektromagnetischer Wellen vorhersagen; deren Ausbreitungstempo erwies sich als identisch mit dem Lichttempo c, und da es sich direkt aus MAXWELLs Grundgleichungen herleiten lässt, ist es selbst ein Naturgesetz, das in Σ und Σ' gleichermaßen gelten muss.

Das Tempo von B' relativ zu B kann auch als Bruchteil des Lichttempos ausgedrückt werden, v = β∙c. Wir nehmen als Zahlenbeispiel β = 0,6, dass lässt sich nämlich besonders leicht rechnen.

Nehmen wir nun an, wir sitzen in B' und senden von einer Lichtquelle mit Präzisionsuhr Ώ aus je ein Lichtsignal zu je einem Spiegel in der Entfernung L

1. in y- Richtung, also quer zut Bewegungsrichtung und
2. in x-Richtung, also in bzw. gegen Bewegungsrichtung.

Ώ misst natürlich für beide Strecken die Zeit

(1) Δτ = 2L⁄c.

Schließlich beträgt in unserem Ruhesystem Σ' die Lichtgeschwindigkeit in jede Richtung c.

In Σ sieht das aber anders aus: Die Lichtgeschwindigkeit beträgt auch c, aber die Bewegung von B' verändert die Differenzgeschwindigkeit zwischen Lichtsignal und Ώ in Abhängigkeit von der Richtung:

Zu 1.: Das Lichtsignal bewegt sich mit B' mit in x-Richtung. Da sein Tempo insgesamt c ist, bleibt für die y-Richtung nur noch

(2) √{c² − v²} = c√{1 − β²} = 0,8∙c

übrig. Daher braucht es die Zeit

(3) Δt = 2L/c√{1 − β²} =: γ∙2L⁄c = 2,5∙L⁄c.

Daher muss, in Σ gerechnet, Ώ einen um den Faktor γ=1,25 längeren Zeittakt haben ("Zeitdilatation'") bzw. wenn man den Zeittakt von Ώ auf die Zeitachse von Σ projiziert, kommt etwas um den Faktor 1,25 längeres heraus.

Zu 2.: Das Lichtsignal und die Uhr entfernen sich auf dem Hinweg nur mit c − v = c(1 − β) = 0,4c voneinander bzw. Lichtsignal und Spiegel nähern sich einander mit 0,4c. Auf dem Rückweg entfernen sich Spiegel und reflektiertes Signal mit c(1 + β) = 1,6c, und Signal und Uhr nähern sich einander mit 1,6c.

Daher braucht das Signal für den Hinweg L/c(1 − β) und für den Rückweg L/(c(1 + β), was sich zu insgesamt

(4) 2L/c(1 − β²) = γ²∙2L⁄c = 3,125∙L⁄c

addieren würde, wenn die Strecke in x- Richtung genauso lang wäre wie die in y-Richtung. Daher muss sie in Σ um den Faktor ¹⁄γ = 0,8 kürzer sein als die entsprechende Strecke in y-Richtung ("Längenkontraktion").

Immerhin hat er auf Santo Domingo die von der republikanischen Regierung bereits abgeschaffte Sklaverei wieder eingeführt.

Hallo popcornmitkaese,

in die Vergangenheit kann man gucken (weil Licht eben Zeit braucht, um aus einer gewissen Entfernung zu uns zu gelangen), aber – zumindest nach allem, was wir wissen – nicht reisen.

Neben dem berühmten Großvater- Paradoxon¹), daas aber grundsätzlich auflösbar wäre²), besteht das Problem, dass etwas und jemand zu irgendeinem Zeitpunkt einfach verschwinden und in der Vergangenheit, in die er reist, aus dem Nichts auftauchen müsste. Das widerspräche der Kontinuitätsgleichung, die es für elektrische Ladung, aber auch für jegliches Materieteilchen gibt.³)

Zeitreisen in die Zukunft sind hingegen nicht nur möglich, sondern unvermeidbar: Dein Jetzt bewegt sich mit 1s⁄s vorwärts, und es ist nicht möglich, langsamer zu werden oder in einem Augenblick (vielleicht einem, den man besonders schön findet) zu verweilen. Diese zeitliche Vorwärtsbewegung wird allerdings nicht Zeitreise genannt. Als solche gilt nur, wenn Dein Jetzt in einer bestimmten Eigenzeit Δτ signifikant mehr U- Koordinatenzeit Δt zurücklegt, wobei U eine Bezugs-Uhr ist, die wir als ruhend betrachten und die fern von sehr kompakten Massen ist.

Sowohl hinreichend schnelle Bewegung relativ zu U als auch der Aufenthalt auf hinreichend tiefem Gravitationspotential ist unweigerlich mit einer solchen "Zeitreise" verbunden.

____________

¹) Die Idee dabei ist, dass ein Zeitreisender (ZR) in der Vergangenheit seinen noch jungen späteren Großvater töten oder zumindest verhindern könnte, dass er die spätere Großmutter des ZR heiratet. Dadurch gäbe es dann auch ihn nicht, und er könnte auch nicht in die Vergangenheit reisen.

²) Die neu geschaffene Vergangenheit könnte einfach eine neue Zeitlinie sein, die zur vorhandenen parallel verläuft, ähnlich wie in Star Trek. Eine andere Möglichkeit wäre Superdeterminismus: Es kann nur jemand in die Jugendzeit seiner Großeltern reisen, der ohnehin dazu determiniert ist. In diesem Fall hätte schon in der primären Vergangenheit ein ominöser Fremder versucht, das Paar auseinander zu bringen, wäre daran aber gescheitert oder hätte sie dadurch erst recht zusammengebracht.

³) Dieses Problem wäre ggf. mit Hilfe Schwarzer Löcher (SL) zu lösen, aber nur, wenndiese sozusagen ein anderes Ende in der Vergangenheit haben, das man Weißes Loch nennt. Aus der Sicht eines fernen Beobachters braucht der ZR ohnehin ewig, um den Ereignishorizont (EH) des SL zu überqueren, während es für ihn selbst ganz schnell geht. Durch ein Weißes Loch käme er in der Vergangenheit wieder zum Vorschein, aber möglicherweise nicht am Stück, sondern als heißes Plasma.

Hallo mal1efrage,

die Relativitätstheorie hat ihren Namen von GALILEIs Relativitätsprinzip (RP), das aussagt, dass man von zwei relativ zueinander geradlinig-gleichförmig bewegten Uhren U und U' jede als ruhend bzw. stationär ansehen kann:

In einem von U aus definierten Koordinatensystem Σ ('Laborsystem') ist natürlich U stationär, und U' bewegt sich mit Δx⁄Δt = v = β∙c (man kann Σ immer so ausgerichtet denken, dass die x-Richtung gerade die Bewegungsrichtung von U' ist).

In einem von U' aus definierten und räumlich wie Σ ausgerichteten Koordinatensystem Σ' bewegt sich U' nicht, und U bewegt sich mit Δx'⁄Δt' = −β∙c.

In Σ betrachtet geht nun U' um den berühmten LORENTZ-Faktor

(1) γ := 1/√{1 − β²}

langsamer: Angenommen U' sendet zu den von U' angezeigten Zeiten t'₁ und t'₂ und damit im zeitlichen Abstand Δt' = t'₂ − t'₁ (Eigenzeit) zwei Signale mit Zeitstempel aus, und die werden von U aufgefangen. Unter der Annahme, dass U stationär ist, ergibt sich die Zeitspanne

(2) Δt = t₂ − t₁ = γ∙Δt'

(Σ- Koordinatenzeit). Wenn wir uns U' als mit den Pionen mitbewegte Uhr vorstellen, ist β = 1 − 5×10⁻⁵ und damit β² ≈ 1 − 10⁻⁴; damit ist γ ≈ 10², also ca. 100. Die Pionen- Halbwertszeit ist in Σ also um das Hundertfache länger als in Σ', also 18∙10⁻⁷ s.

Dementsprechend kommen die Pionen in dieser Zeit (also bis die Hälfte von ihnen zerfallen ist) 100 mal weiter als man ohne die "Zeitdilatation" erwarten würde, nämlich 540 m statt nur 5,40 m.

In Σ' stellt sich dies anders dar, denn hier werden ja die Pionen (so wie U') als stationär beschrieben. Das Ende einer Laufstrecke kommt also mit β∙c auf U' zu, was bedeutet, dass eine gegebene Strecke in x'-Richtung, die in Σ die Länge d hat, in Σ' nur die Länge d' = d/γ hat. Im Ruhesystem eines relativ zu den Pionen ruhenden Beobachters wäre eine im Laborsystem 100m messende Laufstrecke nur mehr 1m lang.

Das heißt übrigens nicht, dass sie aus der Sicht eines relativ zu U' ruhenden Beobachters auch kürzer aussähe. Tatsächlich sieht sie sogar länger aus: Der Beobachter sieht einen Körper, der auf ihn zukommt, ja nicht da, wo er in dem Moment gerade ist, sondern in einer um den Faktor 1/(1 − β) größeren Entfernung, weil das Licht vom Körper zu ihm ja Zeit braucht.

Das zuletzt erwähnte Phänomen wird "Längenkontraktion" genannt und ist ebenso wie die "Zeitdilatation" ein Nebeneffekt der Relativität der Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse.

Hallo Sunnyshinne,

Bei der Geschwindigkeit, brauche ich auch noch c (Lichtgeschwindigkeit von 300 000 km/s) oder brauche ich das nicht bei der Formel?

Natürlich nicht. Du bräuchtest sie, wenn das Tempo des Raumschiffs z.B. als 270000lm/s angegeben wäre, aber 0,9c/=0,9, egal in welchem Einheitensystem.

wenn Δτ = τ₂ − τ₁ die von einer jeweiligen Borduhr Ώ direkt gemessene Zeitspanne (Eigenzeit) zwischen zwei an Bord stattfindenden Ereignissen Ě₁ und Ě₂ und Δt = t₂ − t₁ die von einer Bezugs-Uhr U aus ermittelte Zeitspanne (U- Koordinatenzeit) zwischen Ě₁ und Ě₂ ist, so ist

(1.1) Δt = Δτ/√{1 − (v⁄c)²} =: Δτ∙γ

(γ ist der griechische Kleinbuchstabe gamma und steht für den sog. LORENTZ- Faktor) bzw.

(1.2) Δτ = Δt∙√{1 − (v⁄c)²} =: Δt⁄γ.

Das y bei den 10y steht doch für die Jahre oder?

Ja, für das julianische Durchschnittsjahr von 31 557 600 s. Falls es nicht ausdrücklich gefordert ist, ist es weder nötig noch überhaupt nützlich, es in Sekunden umzurechnen.

In diesen Aufgaben ist U natürlich eine Uhr auf der Erde, die sich relativ zum Kosmischen Mikrowellenhintergrund (kurz CMB für engl. Cosmic Microwave Background), also quasi relativ zum Kosmos selbst, mit ca. 368 km⁄s ≈ 1,23×10⁻³∙c (für unsere Begriffe schnell, im Vergleich zu c aber noch langsam) bewegt.

1. In der ersten Aufgabe ist Δτ = 10 y und v⁄c = 0,9, was Du in (1.1) einzusetzen hast. Du erhältst γ ≈ 2,3, also Δt ≈ 23y.
2. In der zweiten Aufgabe ist Δt = 10 y und v⁄c = 0,99, was Du in (1.2) einzusetzen hast. Du erhältst γ ≈ 7,1, also Δτ ≈ 1,41 y.

Die zweite Aufgabe ist natürlich komplett unrealistisch, weil eine Satellitenbahn um die Erde mit 0,99c ein Ding der Unmöglichkeit ist. Allenfalls elektrisch geladene Teilchen lassen sich mit starken Magnetfeldern mit diesem Tempo auf einer Kreisbahn halten, was im LHC trotz eines wesentlich kleineren Kreisumfangs regelmäßig gemacht wird.

Hallo Tabu52,

wenn Du einen Stein spaltest, bleibt die Gesamtmasse aller Teile gleich. DIe einzelnen Bruchstücke haben natürlich weniger Masse, da sie nur einen Bruchteil des Ganzen ausmachen, aus dem Du sie gemacht hast.

Wenn ein Ganzes durch konservative Kräfte zusammengehalten wird, werden sich die Massen der Bruchstücke allerdings zu etwas mehr als der ursprünglichen Gesamtmasse addieren das liegt daran, dass du beim Auseinandernehmen Energie hereinstecken muss, und Energie "wiegt was".

Ein ⁴He- Atomkern besteht aus zwei Protonen und zwei Neutronen. Neutronen haben eine etwas höhere Masse als Protonen. Trotzdem "wiegt" der Heliumkern etwas weniger als 4 einzelne Protonen.

Deshalb wird bei der Kernfusion von Wasserstoff zu Helium ja auch Energie frei.

Hallo Sunnyshinne,

für die erste Aufgabe musst Du in die Formel

(1) L₀ = Lᵥ/√{1 − β²}

Lᵥ = 200 m und β = 0,85 einsetzen, denn der Tunnel ist im Ruhesystem des Zuges um den Faktor √{1 − β²} kürzer als im eigenen Ruhesystem, in dem er die Länge L₀ hat, nach meiner Rechnung knapp 380 m.

Die zweite Aufgabe ist sogar noch viel einfacher zu rechnen, denn für β = 0,6 ist √{1 − β²} = 0,8. In diesem Fall ist L₀ = 100 m und

(2) Lᵥ = L₀√{1 − β²} = 80 m.

Hallo Sunnyshinne,

wenn Δτ = τ₂ − τ₁ die von einer jeweiligen Borduhr Ώ direkt gemessene Zeitspanne (Eigenzeit) zwischen zwei an Bord stattfindenden Ereignissen Ě₁ und Ě₂ und Δt = t₂ − t₁ die von einer Bezugs-Uhr U aus ermittelte Zeitspanne (U- Koordinatenzeit) zwischen Ě₁ und Ě₂ ist, so ist

(1.1) Δt = Δτ/√{1 − (v⁄c)²} =: Δτ∙γ

(γ ist der griechische Kleinbuchstabe gamma und steht für den sog. LORENTZ- Faktor) bzw.

(1.2) Δτ = Δt∙√{1 − (v⁄c)²} =: Δt⁄γ.

In diesen Aufgaben ist U natürlich eine Uhr auf der Erde, die sich relativ zum Kosmischen Mikrowellenhintergrund (kurz CMB für engl. Cosmic Microwave Background), also quasi relativ zum Kosmos selbst, mit ca. 368 km⁄s ≈ 1,23×10⁻³∙c (für unsere Begriffe schnell, im Vergleich zu c aber noch langsam) bewegt.

1. In der ersten Aufgabe ist Δτ = 10 y und v⁄c = 0,9, was Du in (1.1) einzusetzen hast. Du erhältst γ ≈ 2,3, also Δt ≈ 23y.
2. In der zweiten Aufgabe ist Δt = 10 y und v⁄c = 0,99, was Du in (1.2) einzusetzen hast. Du erhältst γ ≈ 7,1, also Δτ ≈ 1,41 y.

Die zweite Aufgabe ist natürlich komplett unrealistisch, weil eine Satellitenbahn um die Erde mit 0,99c ein Ding der Unmöglichkeit ist. Allenfalls elektrisch geladene Teilchen lassen sich mit starken Magnetfeldern mit diesem Tempo auf einer Kreisbahn halten, was im LHC trotz eines wesentlich kleineren Kreisumfangs regelmäßig gemacht wird.

Hallo Sunnyshinne,

Du brauchst nicht den Zahlenwert des Lichttempos und des Tempos des Raumfahrzeugs in die Formel

(1) γ := 1/√{1 − β²}, β := v⁄c

einzusetzen, das wäre überflüssige Arbeit. Es ist einfach β = 0,8 = ⅘, und Einsetzen ergibt γ = 5⁄3.

In der zweiten Aufgabe ist β = 0,999 = 1 − 10⁻³, und so ist β² ≈ 1 − 2×10⁻³. Setzt Du das ein, ergibt sich

γ ≈ 1/√{2×10⁻³} ≈ √{500} ≈ 22,4.

In diesem Fall musst Du durch γ teilen, um von der "relativistischen Masse" auf die "Ruhemasse" zu kommen.

Hallo Lukas12130,

Konvektion ist eine Form des Wärmetransports, die nur in Fluiden (Flüssigkeiten, Gase, Plasmen) unter Gravitation funktioniert. Und meines Erachtens auch nur, wenn die wärmste Stelle möglichst weit "unten" ist.

Bei der konvektion strömen wärmere Teilchen...

Teilchen sind nicht warm oder kalt, sondern – relativ zu einem Gesamtsystem – schnell oder langsam. Eine zusammenhängende Masse eines Fluides kann kühler oder wärmer sein; dann bewegen sich seine Teilchen gegeneinander langsamer oder schneller, was die Abstände zwischen ihnen beeinflusst. Wärmere Fluidmassen tendieren dazu, sich auszudehnen; ihre Massendichte nimmt ab.

....in kühlere bereiche.

Nein, sie befinden sich in einer kühleren und daher dichteren Umgebung und steigen daher auf. Dabei verteilen sie sich weiter oben und kühlen ab. An anderer Stelle sinken sie dann wieder ab und fließen zurück an die wärmste Stelle.

Dadurch wird wärmeenergie mit und durch die Teilchen übertragen.

Das geschieht unabhängig von der Konvektion und schimpft sich Wärmeleitung.

Hallo Sunnyshinne,

wenn Δτ = τ₂ − τ₁ die von einer jeweiligen Borduhr Ώ direkt gemessene Zeitspanne (Eigenzeit) zwischen zwei an Bord stattfindenden Ereignissen Ě₁ und Ě₂ und Δt = t₂ − t₁ die von einer Bezugs-Uhr U aus ermittelte Zeitspanne (U- Koordinatenzeit) zwischen Ě₁ und Ě₂ ist, so ist

(1.1) Δt = Δτ/√{1 − (v⁄c)²} =: Δτ∙γ

(γ ist der griechische Kleinbuchstabe gamma und steht für den sog. LORENTZ- Faktor) bzw.

(1.2) Δτ = Δt∙√{1 − (v⁄c)²} =: Δt⁄γ.

Das y bei den 10y steht doch für die Jahre oder?

Ja, für das julianische Durchschnittsjahr von 31 557 600 s. Falls es nicht ausdrücklich gefordert ist, ist es weder nötig noch überhaupt nützlich, es in Sekunden umzurechnen.

In diesen Aufgaben ist U natürlich eine Uhr auf der Erde, die sich relativ zum Kosmischen Mikrowellenhintergrund (kurz CMB für engl. Cosmic Microwave Background), also quasi relativ zum Kosmos selbst, mit ca. 368 km⁄s ≈ 1,23×10⁻³∙c (für unsere Begriffe schnell, im Vergleich zu c aber noch langsam) bewegt.

1. In der ersten Aufgabe ist Δτ = 10 y und v⁄c = 0,9, was Du in (1.1) einzusetzen hast. Du erhältst γ ≈ 2,3, also Δt ≈ 23y.
2. In der zweiten Aufgabe ist Δt = 10 y und v⁄c = 0,99, was Du in (1.2) einzusetzen hast. Du erhältst γ ≈ 7,1, also Δτ ≈ 1,41 y.

Die zweite Aufgabe ist natürlich komplett unrealistisch, weil eine Satellitenbahn um die Erde mit 0,99c ein Ding der Unmöglichkeit ist. Allenfalls elektrisch geladene Teilchen lassen sich mit starken Magnetfeldern mit diesem Tempo auf einer Kreisbahn halten, was im LHC trotz eines wesentlich kleineren Kreisumfangs regelmäßig gemacht wird.

Hallo Kinamon,

so etwas wie eine "innere Zeit" eines Photons gibt es nicht bzw. es erfährt keine Zeit.

Tatsächlich hat ein Photon gewissermaßen "keine Substanz"; es ist nicht etwas, das sich bewegen kann, sondern es ist gewissermaßen seine eigene Bewegung. Nur deshalb kann es sich überhaupt nur mit genau c ≈ 3×10⁸ m⁄s bewegen.

Alles, was "Substanz" (d.h. Masse m bzw. Ruheenergie E₀ = mc², was dasselbe in verschiedenen Maßeinheiten ist) kann – relativ zu einem Bezugskörper, etwa einer Uhr U, denn Geschwindigkeit ist grundsätzlich relativ – c nur beliebig nahe kommen.

Das hängt mit der Geometrie der Raumzeit zusammen, einer Struktur, die sich erst anhand eines Körpers wie unserer Bezugs-Uhr U in Raum ("Menge aller Orte" = festen Positionen relativ zu U) und Zeit, genauer der U- Koordinatenzeit t, die entlang der Weltlinie (WL) von U gemessen wird. Diese ist zugleich Zeitachse eines von U aus definierten Koordinatensystems Σ.

Die U- Koordinatenzeit t₁ eines Ereignisses Ě₁ ist der von U aus ermittelte Zeitpunkt t₁ᵥ − r₁⁄c von Ě₁, wobei t₁ᵥ (v für "visuell") der Zeitpunkt seiner Beobachtung von U aus und r₁ die Entfernung ist, in der man Ě₁ geschehen steht, den Betrag des Ortsvektors r›₁ = (x₁; y₁; z₁).

Abb. 1: Veranschaulichung eines Ortsvektors

Die U- Koordinatenzeit zwischen zwei Ereignissen Ě₁ und Ě₂ ist die von U aus ermittelte Zeitspanne Δt = t₂ − t₁ zwischen ihnen.

GALILEIs Relativitätsprinzip (RP) nun, dass man statt U auch eine relativ zu U z.B. in x-Richtung von Σ mit Δx⁄Δt = v bewegte Uhr U' als stationär ansehen, d.h. ein von U' aus definiertes Koordinatensystem Σ' benutzen kann, indem sich U mit Δx'⁄Δt' = −v bewegt; dabei ist Δt' natürlich die U'- Koordinatenzeit. Die grundlegenden Beziehungen zwischen physikalischen Größen (nichts anderes sind Naturgesetze) sind in Σ und Σ' dieselben.

In Σ' ist aber auch ein Ort etwas anderes as in Σ, nämlich eine feste Position relativ zu U'. Insbesondere können zwei Ereignisse in Σ einen räumlichen Abstand haben und in Σ' gleichortig sein (oder umgekehrt).

Ereignisse, für die es ein Koordinatensystem gibt, in dem sie gleichortig sind (und zeitlich aufeinander folgen), heißen zeitartig getrennt. Für solche Ereignisse kann es eine lokale Uhr Ώ geben, in deren Nähe sie stattfinden, was eine direkte Zeitmessung ermöglicht. Die so gemessene Zeitspanne Δτ heißt Eigenzeit und ist ein absoluter raumzeitlicher Abstand.

Bisher habe ich seit der Erwähnung der Raumzeit nichts geschrieben, was mit der NEWTONschen Mechanik unvereinbar und nur in der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) gelten würde. Das ändert sich jetzt:

-- Baustelle --

Hallo Saskia514,

wenn ein Körper der Masse m aus einer Höhe z = h frei fällt (d.h., Reibung spielt keine nennenswerte Rolle), ist seine kinetische Energie am Boden (z = 0) so groß wie seine potentielle Energie bei z = h:

(1) Eₖ(z = 0) = Eₚ(z = h),

wenn man Eₚ(z = 0) = 0 setzt. In diesem Fall ist Eₚ(z = h) = m∙g∙h, während Eₖ(z) = ½∙m∙v(z)² ist (jedenfalls, wenn das Tempo v klein im Vergleich zum Lichttempo c ist). Setzt man das in (1) ein, erhält man

(2) ½∙m∙v(z = 0)² = m∙g∙h.

In diesem Fall kürzt sich m raus.

Im Fall eines elektrisch geladenen Körpers in einem (homogenen) elektrischen Feld entspricht allerdings dessen Ladung Q der Masse m in 'm∙g∙h', und die Spannung U entspricht g∙h. Der Körper 'fällt' quasi das elektrische Feld 'hinab' und wird immer schneller.

Wenn man das mit Elektronen macht, muss U aber klein im Vergleich zu 511 kV sein, denn 511 keV ist die Ruheenergie des Elektrons, d.h. seine Masse mal c². Wenn kinetische Energie und Ruheenergie vergleichbar werden, muss man die Spezielle Relativitätstheorie anwenden.

Hallo dobbyfree25,

die sog. Zeitdilatation (die Bezeichnung ist m.E. irreführend) ist die Diskrepanz zwischen zwei Zeitspannen zwischen denselben Ereignissen Ě₁ und Ě₂, die beide z.B. an Bord eines Raumfahrzeugs stattfinden:

• Der von einer Borduhr direkt gemessenen Zeitspanne Δτ = τ₂ − τ₁, der Eigenzeit, und
• der von einer Bezugs-Uhr U – relativ zu der sich das Raumfahrzeug bewegt – aus ermittelten Zeitspanne Δt = t₂ − t₁, der U- Koordinatenzeit.

Die Eigenzeit ist die absolute Entfernung zwischen Ě₁ und Ě₂, während die U- Koordinatenzeit, wie die Bezeichnung schon sagt, eine Koordinatendifferenz in einem von U aus definierten Koordinatensystems Σ ist, wie die räumlichen Koordinatendifferenzen Δx, Δy und Δz. Die Beziehung zwischen der Eigenzeit und den Koordinatendifferenzen ist durch MINKOWSKIs Abstandsquadrat

(1) Δτ² = Δt² − (Δx² + Δy² + Δz²)/c²

gegeben. Mit der Geschwindigkeit v› = (Δx | Δy | Δz)/Δt ergibt sich daraus

(2.1) Δτ = Δt√{1 − ‹v∙v›⁄c²}

bzw.

(2.2) Δt = Δτ/√{1 − ‹v∙v›⁄c²} =: Δτ∙γ

mit dem berühmten LORENTZ-Faktor γ, der immer größer ist als 1.

Nehmen wir an, jemand reist in einem Raumschiff, das sich mit 90% der Lichtgeschwindigkeit bewegt, für ein Jahr (nach der Zeitmessung im Raumschiff).

D.h., Δτ ist ein Jahr, und γ ist etwa 2,294, gerundet 2,3.

Würde das bedeuten, dass auf der Erde weniger als ein Jahr vergangen ist, weil die Zeit im Raumschiff langsamer läuft? Oder habe ich da einen Denkfehler?

Δt ist immer länger als Δτ, in diesem Fall 2,3 Jahre. Während dieser Zeit sind die Menschen auf der Erde also um 2,3 Jahre älter geworden, die im Raumfahrzeug um nur ein Jahr.

Hallo Sunnyshinne,

wenn Δτ = τ₂ − τ₁ die von einer Borduhr Ώ direkt gemessene Zeitspanne (Eigenzeit) zwischen zwei an Bord stattfindenden Ereignissen Ě₁ und Ě₂ und Δt = t₂ − t₁ die von einer Bezugs-Uhr U aus ermittelte Zeitspanne (U- Koordinatenzeit) zwischen Ě₁ und Ě₂ ist, so ist

(1.1) Δτ = Δt∙√{1 − (v⁄c)²} =: Δt⁄γ

bzw.

(1.2) Δt = Δτ/√{1 − (v⁄c)²} =: Δτ∙γ

In diesen Aufgaben ist U natürlich eine Uhr auf der Erde.

1. In der ersten Aufgabe ist Δt = 10y und v⁄c = 0,99, was Du in (1.1) einzusetzen hast.
2. In der zweiten Aufgabe ist Δτ = 10y und v⁄c = 0,9, was Du in (1.2) einzusetzen hast.

Die erste Aufgabe ist natürlich komplett unrealistisch, weil eine Satellitenbahn um die Erde mit 0,99c ein Ding der Unmöglichkeit ist. Allenfalls elektrisch geladene Teilchen lassen sich mit starken Magnetfeldern mit diesem Tempo auf einer Kreisbahn halten, was im LHC trotz eines wesentlich kleineren Kreisumfangs regelmäßig gemacht wird.

Hallo kokichi242,

als Randstrahlen bezeichnet man die Lichtstrahlen, die von einer als punktförmig idealisierten Lichtquelle gerade noch am Hindernis vorbeigehen. Hier in der Abbildung sind also vier Randstrahlen zu sehen, von denen zwei den Kernschatten eingrenzen.

Siehe auch: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/physik/artikel/licht-und-schatten#

Hallo Sunnyshinne,

die sog. relativistische Masse, d.h. die Masse des Körpers selbst plus die "Masse" der von ihm "mitgeschleppten" kinetischen Energie ist durch die Formel

(1) mᵥ = m₀γ := m₀/√{1 − β²}

gegeben, wobei γ der LORENTZ- Faktor heißt und β := v⁄c ist, bei v = 0,8∙c also einfach 0,8, und wenn man dies einsetzt, kommt γ = 5⁄3 dabei heraus. Multipliziert man das mit 1 t Masse, erhält man ca. 1666,7 kg, auf ganze 100 g gerundelt.

Hallo Kimanon,

grundsätzlich hat jede beliebige Masse M einen SCHWARZSCHILD- Radius

(1) 𝗋ₛ = 2м = 2GM⁄c²,

wobei G ≈ ⅔∙10⁻¹⁰ m³s⁻²kg⁻¹ die Gravitationskonstante und c ≈ 3×10⁸ ms⁻¹ das Lichttempo ist. Eigentlich braucht man noch nicht einmal ein massives Objekt; es sollte genügen, eine Energie E auf eine Kugel vom Radius

(2) 𝗋ₛ = 2GE⁄c⁴

zu konzentrieren, was aber wohl leichter gesagt als getan ist. Physiker sprechen bei der theoretischen Möglichkeit, dass aus purer Energie ein Schwarzes Loch entsteht, vom "Kugelblitz" (nicht zu verwechseln mit dem Wetterphänomen).