[Physik] Bahnkurve der Elektronen im Plattenkondensator?

Guten Abend,

ich benötige bei der folgenden Aufgabe noch etwas Hilfe und freue mich sehr auf eure hilfreichen Antworten zur Herleitung der Bahnkurve der Elektronen.

Answer 1

[AMG38]

Hallo,

die Elektronen erfahren innerhalb der Strecke des Plattenkondensators eine Kraft in y-Richtung, und zwar mit einer konstanten Kraft. D.h. "nach oben" hin hast du eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

$y=\frac{1}{2}at^2$

In x-Richtung erfahren sie eine gleichförmige Bewegung

$x=v_0t$

Wenn man diese Gleichung nach t umstellt und in die obere einsetzt, erhalten wir:

$y=\frac{1}{2}\cdot\frac{ax^2}{v_0^2}$

Für a und v0, die wir nicht kennen, brauchen wir jetzt die richtigen Beziehungen.
Fangen wir mit a an. Was ist nochmal die Beschleunigung?

$F=m\cdot a$

Welche Kraft F und welche Masse m ist hier gemeint?
-> Elektrische Kraft Fel und Masse des Elektrons me

$F_{el}=m_e\cdot a$

Was ist nochmal die elektrische Kraft, die im Kondensator wirkt?

$F_{el}=\frac{U_P\cdot e}{d}$

Wenn wir die letzten beiden Gleichungen gleichsetzen, können wir diese nach a umstellen:

$a=\frac{F_{el}}{m_e}=\frac{U_P\cdot e}{m_e\cdot d}$

Jetzt fehlt uns noch v0. Wo taucht das nochmal auf?
-> In der Gleichung für die kinetische Energie

$E_{kin}=\frac{1}{2}\cdot m_e\cdot v_0^2$

Die kinetische Energie ist gleich der potenziellen Energie (wo die Elektronen noch nicht in den Kondensator wandern, d.h. sie sind noch auf der linken Seite des Versuchsaufbaus).

$E_{pot}=U_B\cdot e$

Diese Gleichungen können wir gleichsetzen

$U_B\cdot e=\frac{1}{2}\cdot m_e\cdot v_0^2$

und nach dem gesuchten v0 umstellen:

$v_0^2=\frac{2\cdot U_B\cdot e}{m_e}$

Damit haben wir alles, was wir in unsere y-Gleichung einsetzen können.

$y=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\cdot x^2}{v_0^2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{U_P\cdot e\cdot x^2\cdot m_e}{m_e\cdot d\cdot2\cdot U_B\cdot e}$

e und m_e kürzen sich weg. Damit erhalten wir

$y=\frac{1}{4}\cdot\frac{U_P}{d\cdot U_B}x^2$

Nachtrag: Ich sehe grad, dass du die Lösung bereits hast. Das war zum Zeitpunkt des Lesens nicht der Fall, da hätte ich mir den Aufwand auch sparen können. Bitte das nächste mal die Frage vorab vollständig mit deinen bereits vorhandenen Wegen uploaden ;)

Comments

[maennlich2002]

Ich habe die Herleitung erst im Nachhinein hinbekommen und es zuvor ohne richtige Herleitung versucht gehabt. Das durchlesen deiner Antwort hilft mir aber dennoch, da du es nochmal perfekt erklärt hast. Vielen Dank 🙏 Vielleicht hast du ja noch Lust, diese Frage aus meiner Ergänzung zu beantworten:

Wieso steht im Zähler die Plattenspannung Up und im Nenner die Beschleunigungsspannung Ub? Woher weiß ich das?

Denn beides Mal hat man ja die Spannung, doch woher weiß man, dass im Zähler die Plattenspannung Up und im Nenner die Beschleunigungsspannung Ub steht?

[AMG38]

@maennlich2002

Das ergibt sich aus den Gleichungen, die du ineinander einsetzt.

Du hast für den linken Teil des Versuchsaufbau eine auf die Elektronen wirkende Elektrische Kraft, dito für den rechten Teil (innerhalb des Kondensators). Beide elektrischen Kräfte ergeben sich aus der elektrischen Feldstärke E.

D.h. grundsätzlich erstmal:

Fel = E * e

Die elektrische Feldstärke ist u.a. aber abhängig von der angelegten Spannung, und diese ist UB für links und UP für rechts.

[maennlich2002]

@AMG38

Ich habe soeben noch meine Lösung zum Aufgabenteil b) als Ergänzung der Frage gepostet und würde mich sehr über deine Rückmeldung dazu freuen 🙋‍♂️

[AMG38]

@maennlich2002

Man sagt "je... desto" und nicht "desto...desto".
Ansonsten ist die Aussage korrekt. Mathematisch siehst du ja, dass Ub im Nenner steht und deshalb der Ausdrück für y kleiner wird, wenn Ub größer wird.

Gedanklich kannst du das ebenfalls nachvollziehen, wenn du dir die Beschleunigungsspannung bzw. den linken Teil wie eine Kanone vorstellst. Schießt die Kanone mit mehr Druck, fliegt die Patrone schon so weit durch die Passage des Kondensators, sodass dessen Kräfte eben anteilig weniger auf die Patrone wirken. Entsprechend wird es weniger nach oben abgelenkt.

Das lässt sich wiederum kompensieren, indem man die Kraft innerhalb der Passage des Kondensators erhöht, sodass die Patrone noch stärker nach oben gedrückt wird ;)

[maennlich2002]

@AMG38

Vielen Dank für deine großartige Hilfe 🙏 Schau gerne bei meiner neuesten Frage zu Physik vorbei, das würde mir sehr helfen: https://www.gutefrage.net/frage/physik-veraenderung-der-plattenspannung-up