Hallo,

Du hast (x²+1)/(3x²+3) falsch gekürzt.

Du kannst doch nicht einfach aus einer Summe das x² kürzen.

Richtig geht es so: 3x²+3=3(x²+1).

Jetzt kannst Du x²+1 als ganzen Term kürzen, so daß im Nenner nur die 3 stehen bleibt.

Insgesamt 1/(3u).

1/3 kannst Du vor das Integral ziehen, bleibt 1/u.

Stammfunktion dazu ist ln |u|, Also 1/3 ln |u|.

Nach Rücksubstitution bekommst Du F(x)=(1/3)ln |x³+3x|+C.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

am meisten wird es den Jungen von Nutzen sein, beständig gut unterrichtet zu werden. Dies ist aber schwierig, weil wir uns Mühe geben müssen, in ihnen nicht den Zorn zu mehren oder ihre Begabung zu unterdrücken.

Durch Freiheit wird der Geist gestärkt, durch Unterwürfigkeit gedämpft. Er erhebt sich wieder, wenn er gelobt und zu gesundem Selbstvertrauen geführt wird.

Genau das Gleiche aber führt auch zu Übermut und Jähzorn.

Wir sollen weder dulden, daß die Jungen in Wettkämpfen mit Gleichaltrigen besiegt werden, noch daß sie in Zorn geraten. Wir wollen dafür Sorge tragen, daß er mit denen vertraut ist, mit denen er sich gewöhnlich mißt, damit er sich im Wettkampf angewöhnt, nicht verletzen, sondern siegen zu wollen.

Sooft er aber die Oberhand gewonnen hat und irgendetwas Lobenswertes gemacht hat, wollen wir dulden, daß er sich erhebt, aber nicht, daß er Freudentänze aufführt.

Wir werden ihnen einen gewissen Freiraum geben, Untätigkeit und Müßiggang dagegen werden wir nicht durchgehen lassen und wir werden sie weit entfernt von Obszönitäten verwahren.

Mitunter soll er Furcht empfinden, Ehrfurcht immer, vor den Alten soll er sich erheben. Den Reichtum der Eltern soll er im Blick haben, aber keinen Gebrauch davon machen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

ist mir noch nicht passiert. Liegt vielleicht auch daran, daß ich mich meist zu Fragen in Sachen Mathematik äußere.

Da eine Antwort auf GF keine Doktorarbeit ist, würde ich mir um die Quellen keine allzu großen Gedanken machen.

Hab's irgendwo gelesen sollte als Angabe reichen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

das mit den geraden oder ungeraden Potenzen bezieht sich nur auf die Symmetrien zum Ursprung bzw. zur y-Achse.

Eine Symmetrie kann natürlich trotzdem vorhanden sein.

Jede Funktion der Form f(x)=ax²+bx+c ist achsensymmetrisch zu einer Senkrechten durch ihren Scheitelpunkt.

Jede Funktion der Form f(x)=ax³+bx²+cx+d ist punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

die Buchstaben O; O, T, T können auf 4!/(2!*2!), also auf sechs unterschiedliche Arten angeordnet werden. Eine davon ist OTTO. Daher ist die Wahrscheinlichkeit 1/6, daß Du zufällig eine dieser sechs Anordnungen ziehst.

Du kannst es auch anders berechnen:

Die Wahrscheinlichkeit, das erste O zu ziehen, beträgt 1/2, denn die Hälfte der Buchstaben im Topf sind O.

Dann gibt es für das nächste T die Wahrscheinlichkeit 2/3, denn von drei Buchstaben im Topf sind zwei T.

Dann gibt es nur noch das T und das O, jedes mit der Wahrscheinlichkeit 1/2.

Du brauchst das T, also ziehst Du es mit einer Chance von 1/2.

Am Schluß bleibt das letzte O übrig, das dann auf jeden Fall gezogen wird.

(1/2)*(2/3)*(1/2)*1=2/12=1/6.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

wenn Du aus der ersten Klammer die 2 als Faktor herausziehst und mit 1/50 verrechnest, bekommst Du (1/25)*(x²-4)*(x-2)³.

Da x²-4=(x+2)*(x-2) nach der dritten binomischen Formel, erhältst Du
(1/25)*(x+2)*(x-2)*(x-2)³.

Das wiederum ergibt (1/25)*(x+2)*(x-2)^4.

Es liegt also bei x=2 in der Tat eine vierfache Nullstelle vor.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

teilst Du die Länge der Diagonale eines Quadrats durch Wurzel (2), bekommst Du die Seitenlänge heraus. Viermal die Seitenlänge ist der Umfang.

Mach Dir folgenden Zusammenhang zwischen Seitenlänge a und Diagonale d im Quadrat klar:

Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a²+a²=d².

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

vier von den 52 Karten sind Asse, die restlichen Karten sind keine Asse.

Mindestens ein As ist die Gegenwahrscheinlichkeit von überhaupt kein As.

Du rechnest also die Wahrscheinlichkeit dafür aus, überhaupt kein As auf der Hand zu haben, und ziehst das Ergebnis von 1 ab.

Kein As bedeutet: Aus der Gruppe der vier Asse hast Du keine Karte erhalten, aus der Gruppe der 48 restlichen 13 Karten.

Insgesamt wurden Dir 13 von 52 Karten ausgeteilt.

Du rechnest mit Binomialkoeffizienten:

[(4 über 0)*(48 über 13)]/(52 über 13)=0,303817527. Das von 1 abgezogen ergibt eine Wahrscheinlichkeit von immerhin 69,6 % für mindestens ein As auf der Hand.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

ein wenig kannst Du Dir das Leben erleichtern.

Setzt Du die die Strecken AG und BH gleich und findest den Schnittpunkt, so muß dieser Schnittpunkt derselbe sein wie der der beiden Strecken CE und DF.

Du kannst das Prisma ja um 180° drehen, so daß das Rechteck EFGH unten liegt.

So bekommst Du ein identisches Prisma, dessen Raumdiagonalen genauso liegen wie bei dem ursprünglichen, nur daß sie jetzt CE und DF lauten.

Es reicht daher, zwei Raumdiagonalen gleichzusetzen, um nachzuweisen, daß sich alle vier im selben Punkt treffen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

es gibt 49 Zahlen beim Lotto. Sechs davon sind Gewinnzahlen, die restlichen 43 sind Nieten.

Wenn Du nun genau vier Richtige hast, hast Du von den sechs Gewinnzahlen vier angekreuzt. Da Du insgesamt sechs Zahlen ankreuzt, fehlen noch zwei. Diese beiden müssen aus der Gruppe der 43 Nieten kommen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

bei Aufgabe a helfe ich Dir.

Wenn der gesuchte Punkt C auf der x-Achse liegt, muß er die Koordinaten (a|0|0) besitzen, wobei a noch zu bestimmen ist.

Damit AB und AC kollinear sind, muß man mit einem Vielfachen des gleichen Richtungsvektors, der von A nach B führt, auch zu C gelangen.

Richtungsvektor AB ist gleich B-A, also (-3-1|3-1|15-5)=(-4|2|10) oder gekürzt (bei Richtungsvektoren darf man kürzen): (-2|1|5).

Punkt C muß also A+µ*(-2|1|5) sein.

(1|1|5)+µ*(-2|1|5)=(a|0|0).

Die x2- und x3-Koordinate von C werden nur 0, wenn µ=-1.

(1|1|5)+(-1)*(-2|1|5)=(3|0|0)=C.

A, B und C liegen nun auf einer Linie.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

da sechs Buchstaben schon im Namen Niclas stecken, kann man aus den restlichen 74 Zeichen zwei auswählen, die das Paßwort zu acht Zeichen ergänzen.

Die beiden Zeichen können zwei von acht Plätzen einnehmen, dazu noch untereinander die Plätze tauschen.

Ergibt (74 über 2)*(8 über 2)*2=151256 mögliche Paßwörter.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

meinst Du die Höhe der Etage DEF? Die hat 20 Einheiten. Die Punkte D, E unf F haben als z-Koordinate 15, Punkt G hat die z-Koordinate 35. Macht einen Höhenunterschied von 20 Einheiten.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

der Median ist gegenüber Ausreißern unempfindlich.

Ordne alle Werte nach der Größe. Der mittlere Wert bzw. das Mittel zwischen beiden mittleren Werten ist der Median.

Dem sind Ausreißer völlig wurscht.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

kleiner als 1500 ist jede Zahl, die mit 1 anfängt.

Die Wahrscheinlichkeit, daß die 1 als erste Zahl gezogen wird, liegt bei 1/4. Was danach gezogen wird, ist wurscht. Daher bleibt es bei p=1/4 oder 25 %.

Aus lauter aufsteigenden Ziffern besteht nur die 1234. Wahrscheinlichkeit
1/(4*3*2).

Von 1 abziehen, denn alles andere besteht nicht aus lauter aufsteigenden Ziffern.

Bei der letzten Aufgabe überlegst Du, daß jede Ziffernkombination die Wahrscheinlichkeit von 1/24 hat. Einfach überlegen, wie viele Kombinationen die Anforderung erfüllen und mit 1/24 multiplizieren.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

Tetraeder mit Ecken A, B, C und S als Spitze.

Parametergleichung der Fläche ABS:

A+r*(S-A)+s*(B-A).

Bildest Du das Kreuzprodukt aus (S-A) und (B-A), ergibt das den Vektor (a/b/c).

Die Koordinatengleichung der Ebene lautet dann ax+by+cz=d.

Den Wert für d bekommst Du, wenn Du einen der drei Punkte A, B oder S in die Gleichung einsetzt.

Herzliche Grüße,

Willy

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