Bei dem Punkt R war das x bekannt, und Du hast dessen Wert für x in die Funktionsgleichung eingesetzt. Jetzt ist y bekannt, also f(x), d. h. Du setzt links die 0 ein und rechnest x aus.

In diesem Fall klammerst Du zuerst x aus, und erhältst so x * (quadr. Term) = 0. Diese Gleichung wird Null, wenn entweder das x Null wird oder der quadr. Term...

x * 7 = 7 * x = 7x

Dass die erste Reihe (besser gesagt Spalte) addiert 125 ergibt weißt Du, weil Du das eben schon gefragt hast?!? (Wobei aus der Frage nicht unbedingt zu erkennen war, dass eine Addition gewünscht wurde)

Aber Du wirst doch diese recht einfachen Zahlen miteinander addieren können! Ansonsten nimm einen Taschenrechner...

Wahrscheinlich meinst Du mit deinem geschriebenen das richtige, aber es "klingt" etwas verdreht...

Bei der direkten Proportionalität gilt die Zuordnung y=kx (je mehr x, desto mehr y).

Dies ist graphisch eine Gerade, die durch den Nullpunkt geht. Mit "Ursprungshalbgerade" meinst Du wahrscheinlich die "Winkelhalbierende", also die Gerade, die im 45°-Winkel den 1. Quadranten (oben rechts im Koordinatensystem) halbiert. Dies ist nur der Fall, wenn der Proportionalitätsfaktor k den Wert 1 hat, wenn also y=x gilt. Wenn k>1 ist, dann ist die Gerade steiler, bei k<1 flacher (sie geht aber immer durch den Nullpunkt).

Eine direkte Proportionalität liegt dann vor, wenn der Quotient y/x (oder x/y) immer denselben Wert ergibt. D. h. wenn Du eine Wertetabelle hast und y/x (oder x/y) immer denselben Wert ergibt, dann liegt eine direkte Proportionalität vor mit y=kx (bzw. x=ky) je nachdem, wie rum Du dividiert hast.

Bei einer indirekten Proportionalität (Antiproportionalität) gilt die Zuordnung y=k/x (je mehr x, desto weniger y). Dies ist graphisch eine Hyperbel. Diese Proportionalität liegt dann vor, wenn die gegebenen Wertepaare (x|y) multipliziert immer dasselbe ergeben.

Ist weder x*y noch x/y (y/x) immer gleich, dann liegt keine Proportionalität vor.

Was Du mit einer weiteren Möglichkeit meinst, wüsste ich im Moment aber leider auch nicht...

Meist rechnet man mit dem Dreisatz, um aus einer gegebenen Zuordnung (Beispiel direkte Zuordnung: 2 Eier entsprechen 70 Cent) weitere Zuordnungen (wieviel kosten 5 Eier) zu bestimmen, d. h. man rechnet erst auf 1 Ei runter, indem man durch 2 teilt (1 Ei entspricht 35 Cent, das ist ja quasi y=35x) und dann auf 5 hochrechnet (5 Eier entsprechen 5*35=175 Cent; y=35*5=175).

Recht ungenau das ganze...: die rechte Wendestelle von f und die zugehörige Extremstelle von f' liegen nicht an gleicher Stelle.

Auch müsste dieser Extrempunkt tiefer liegen, da die Steigung (Gefälle) am rechten Wendepunkt deutlich stärker ist als am linken Wendepunkt, d. h. wenn links der Extrempunkt bei +2 Kästchen liegt, dann muss der rechte auf jeden Fall tiefer als bei -2 Kästchen liegen. Aber bei Skizzen reicht meist die korrekte Einzeichnung der markanten Punkte an richtiger x-Stelle.

Nein, das ist falsch: ich denke Du hast das Thema noch nicht verstanden...

Vektor a (-5 3) ist noch korrekt eingezeichnet, wobei die Pfeilspitze auf den Punkt zeigen soll, an dem der Pfeil endet! (Vektoren müssen nicht unbedingt im Nullpunkt beginnen - außer der "Ortsvektor").

Oben der Vektor b (1 -3) ist auch noch korrekt gezeichnet (vom Startpunkt des Vektors eine Einheit nach rechts und 3 nach unten). Der "andere" Vektor b ist falsch.

Korrekt zeichnest Du Vektor a + Vektor b, indem Du zuerst den Vektor a zeichnest, also hier von einem frei gewählten Startpunkt 5 Einheiten nach links und 3 nach oben, und an der Spitze dieses Vektors beginnt der Vektor b, d. h. von der Spitze von Vektor a geht es nun eine Einheit nach rechts und 3 Einheiten nach unten. Der Vektor c geht dann vom Startpunkt des Vektors a zur Spitze von Vektor b. Wenn Du es richtig gezeichnet hast, dann geht Vektor c von seinem Startpunkt 4 Einheiten nach links und keine Einheit in y-Richtung.

Rechnerisch:

c=(-5 3) + (1 -3) = (-5+1 3+(-3)) = (-4 0)

Diese abgebildete Funktion besteht aus (mindestens) 3 Teilfunktionen mit Randstellen bei x=1 und x=3 an denen die Funktion nicht differenzierbar ist (Steigung von links und rechts ist nicht gleich).

Bei x=1 liegt das absolute Minimum dieser Funktion. Lokale Extremstellen gibt es nicht: diese sind so definiert, dass dort als notwendige Bedingung die Steigung Null ist - das ist hier nicht der Fall.

Ansonsten könnte man diese beiden Stellen als "Knickpunkte" der Funktion bezeichnen/beschreiben, mehr auch nicht.

Die Wendestellen stimmen!

So eine Skizze "nur" um zu sehen, ob es sich tatsächlich um Wendestellen handelt, ist natürlich schon recht (zeit-)aufwendig!

Entweder testest Du die möglichen Wendestellen mit der dritten Ableitung (wenn f'''(x)<>0 rauskommt, sind es tatsächlich Wendestellen) oder Du prüfst in der zweiten Ableitung rechnerisch kurz vor und hinten den Nullstellen die Vorzeichen der zweiten Ableitung.

D. h. ich (und viele andere) hätte hier entweder f'''(1) und f'''(1/3) ermittelt, oder f''(0,9) und f''(1,1), um zu sehen ob sich bzgl. x=1 das Vorzeichen bei f'' ändert und entsprechend z. B. f''(0,3) und f''(0,4) bzgl. x=1/3.

Bei Aufgabe 7) musst Du überlegen, mit welchem Faktor Du die einzelnen Koordinaten multiplizieren musst, damit sich jeweils ganze Zahlen ergeben. Entweder machst Du es Dir einfach und multiplizierst einfach mit 10er-Potenzen (d. h. Du verschiebst nur das Komma) oder Du wählst den kleinstmöglichen Faktor. Hast Du einen passenden Faktor gefunden, musst Du, damit die Werte in der Form r * Vektor a die selben sind, den Vektor mit dem Kehrwert dieses Vektors multiplizieren.

Beispiel 7a): hier könntest Du entweder einfach mit 10 multiplizieren, d. h. das Komma der Koordinaten um eine Stelle nach rechts verschieben, und hättest so als Vektor a: (5 15 -15) und müsstest diesen dann mit dem Kehrwert von 10, also 1/10 multiplizieren. Oder Du multiplizerst in diesem Fall mit 2 (weil ,5 bedeutet ja "halbe") und kämst so auf 1/2 * (1 3 -3)

Aufgabe 9): hier fasst Du die Vektoren genauso zusammen wie Variablen (x, y, z) auch - denke Dir einfach die Pfeile weg...

Aufgabe 11): hier würde ich erst einmal die entsprechenden Koordianten der Vektoren notieren und diese dann wie angegeben "verrechnen".

Beispiel 11a): a=(2 2); b=(1 1), somit ergibt sich für die linke Seite a+2b: (2 2) + 2 * (1 1) = (2 2) + (2 2) = (4 4). Wenn das rechts mit d-2c auch rauskommt, passt die Gleichung.

Eine Geradengleichung in "Vektorschreibweise" (Parameterform) sieht so aus:

Vektor x=Ortsvektor + r * Richtungsvektor

D. h. jetzt für den Punkt C (Ortsvektor c): um vom Nullpunkt zum Punkt C zu kommen, gehst Du zuerst über den Ortsvektor a zum Punkt A (oder über b zum Punkt B) und von dort aus eine gewissene Anzahl (r-mal) den Richtungsvektor AB zum Punkt C.

D. h. c=Vektor a + r * Vektor AB bzw. c=Vektor b + r * Vektor AB. Sollst Du nun hier das r konkret angeben, dann musst Du die Strecke AB messen und die Strecke von A nach C (bzw. von B nach C, wenn Du als Ortsvektor b nimmst) und dann AC (bzw. BC) durch AB teilen um zu ermitteln wie oft die Strecke AB in AC (BC) enthalten ist.

Teil b) ist dann allgemein x=Vektor a (oder b) + r * Vektor AB. So kann man jeden Punkt auf der Geraden erreichen, wenn man den entsprechenden Faktor r einsetzt.

Aufgabe 2 ist dann das ganze mit konkreten Werten...

Da wurden 2 Schritte in einem gemacht:

zuerst wird durch e^x geteilt, ergibt rechts e^(-x)/e^x. Dann wurde der Nenner "nach oben" geholt, indem das Vorzeichen des Exponenten gewechselt wurde!

Du kannst stattdessen auch einfach die Potenzregel anwenden:

e^(-x)/e^x=e^(-x-x)=e^(-2x).

h) 8*(-3/4)²-4*1,5³=8*9/16-4*(3/2)³=9/2-4*27/8=9/2-27/2=-18/2=-9

j) [-80+[-7-3]*2]:(-5)=[-80-10*2]:(-5)=[-80-20]:(-100)=-100/(-5)=20

Oder gehört bei j) der kaum sichtbare Teil darunter noch dazu?

Bei dem Lauf läufst Du ja auch nicht alleine...

Bei "Wettkämpfen" neigt man oft dazu zu schnell anzugehen. Versuche dich an deinen Trainingszeiten zu orientieren. Evtl. triffst Du auf Läufer deren Tempo deinem ähneln bzw. deren Tempo Du dir zutraust mitzugehen und hänge dich da dran.

Hinterherlaufen fällt meist leichter (auch der Drang dranzubleiben, wenn das Tempo nicht deutlich zu hoch ist) als vor zu laufen (ich fühle mich dann eher verfolgt und habe das Gefühl zu langsam zu laufen).

Meiner Meinung nach stimmen auch die 66 cm nicht!

Wenn der Sockel 120 cm (12 dm) hoch ist, dann fehlen auf dem Bild 70 cm (die Füße des Manneken fangen auf dem Bild bei 50 cm an), d. h. Du musst zu Deiner Parabelgleichung noch 7 (=7 dm) hinzurechnen, und kommst so auf eine positive Nullstelle von x=√43,75=6,61 dm=66 cm. Der Strahl fängt aber nicht bei x=0 an, sondern bei ca. -0,5 dm (wenn ich das richtig sehe - das Bild wird recht unscharf beim Vergrößern), d. h. diese 5 cm müssten noch hinzuaddiert werden...

Zwar was spät, aber egal...:

Hier werden keine Integrale benötigt!

b) gefragt ist nach W(50) und W(200) und lim W(t) für t->unendlich
c) erste Frage kann mit dem Grenzwert aus b) beantwortet werden, danach ist nach W(t)=600.000 gefragt (das nach t auflösen)
d) hier ist zuerst nach W'(20) gefragt, danach nach W'(0), denn laut Aufgabenstellung ist der Wasserzufluss konstant, aber die Steigung im Stausee nicht wegen des gleichzeitigen Abflusses unter Wasserdruck, und zu Beginn bei t=0 gibt es noch keinen Wasserdruck, also auch keinen Abfluss...

Korrekt. Hier hat "aufgrund der Erfahrung" jede Schraube dieselbe Wahrscheinlichkeit defekt zu sein. D. h. jede der n=150 Schrauben einer Packung haben die "Trefferwahrscheinlichkeit" p=0,05. Und gesucht ist hier nach P(X=10).

Leider nicht richtig: wenn Du bei einer Äquivalenzumformung multiplizierst oder (wie hier) dividierst, dann musst Du das bei ALLEN Summanden machen.

D. h. Deine dritte Zeile müsste "theoretisch" heißen: x+1/2(x-4)=3,25.

Aber das bringt nicht sonderlich weiter, stattdessen solltest Du zu Beginn die Klammer auflösen und Zahlen und x'e zusammenfassen:

2x+3+(x-4)=9,5 |Klammer lösen (einfach weglassen, wegen dem einfachen + davor)
2x+3+x-4=9,5 |zusammenfassen
3x-1=9,5 |+1
3x=10,5 |:3
x=3,5

Nachtrag:

Ob eine Lösung richtig ist kannst Du durch die Probe selber testen. D. h. Du setzt Deine Lösung in die Ausgangsgleichung ein und schaust ob links und rechts dasselbe rauskommt. Wenn nicht, dann ist bei der Rechnung etwas schief gelaufen.

Das liegt daran, dass Du bei der zweiten Variante n2=1 angesetzt hast. Die daraus resultierende Ebene ist ein Vielfaches (* (-1)) der ersten Variante, also dieselbe Ebene - setze n2=-1 und dein "Problem" ist gelöst...

Du willst quasi den y-Wert gegen einen bestimmten Wert laufen lassen und schauen, was dabei für ein x-Wert rauskommt?

Wenn ja:

Man könnte die Umkehrfunktion bilden und dann für f^(-1)(x) das x gegen den gewünschten Wert laufen lassen.

Problematisch ist halt, dass man nicht jede Funktion so einfach umkehren kann: hat z. B. eine Funktion einen Funktionswert mehrfach, dann muss man die Umkehrfunktion begrenzen, denn mehrere y-Werte für einen x-Wert würde für die Umkehrfunktion bedeuten: mehrere x-Werte für einen y-Wert - und das is bei Funktionen bekanntlich nicht möglich, bzw. bei solchen Zuordnungen handelt es sich nicht mehr um Funktionen.

Ich gehe mal davon aus, es soll jeweils 0,3 heißen, so dass für -5€ noch die Wahrscheinlichkeit 0,4 übrig bleibt. Ansonsten wäre die Aufgabe eh nicht lösbar (was Teil b) angeht)...

Wenn ihr das Thema neu angefangen habt, dann beginne mit einem Baumdiagramm, um Dir die Vorgehensweise klar zu machen (und Du den Baum siehst und ihn Dir nicht vorstellen musst). D. h. Du beginnst mit den 3 Ästen 0,5€, 2€ und -5€ und schreibst jeweils die Wahrscheinlichkeiten dran, dann folgen an jedem Ast im zweiten Schritt nochmal die gleichen Äste mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten (die Kugel werden ja zurückgelegt).

Somit bekommst Du z. B. für den Pfad (0,5€|0,5€) auf die Wahrscheinlichkeit p=0,3 * 0,3 = 0,09. D. h. mit der Wahrscheinlichkeit 0,09 (=9 %) gewinnt der Spieler 1,- € (0,5+0,5).

Das machst Du mit allen Pfaden: Wahrscheinlichkeit ausrechnen und den zugehörigen Gewinn/Verlust.

Bei a) kommen dann alle Pfade in Frage, die einen Verlust ergeben (also alle Pfade bei denen mindestens ein Ast -5€ "heißt". Die Wahrscheinlichkeiten dieser Äste werden addiert.

b) hier musst Du zuerst die Gewinnwahrscheinlichkeit ausrechnen, also den "Gewinn" jeden Pfades mal seiner Wahrscheinlichkeit und diese Ergebnisse addieren. Das Ergebnis ist die zu erwartende Auszahlung pro Spiel. Ein Minus bedeutet dabei, dass der Spieler Verlust macht, und somit der Spielanbieter Gewinn. Jetzt teilst Du 2.000,- durch diesen Gewinn des Spielanbieters und hast die Anzahl der nötigen Spiele um 2.000,- € einzunehmen (aus Sicht des Anbieters).