Wie berechne ich den Berührpunkt einer Tangente an einer Parabel aus?
Normalerweise ist die Steigung angegeben und da weiß ich dann auch wie man es berechnet.
Nun habe ich eine Aufgabe bekommen, in der ist die Funktion des Graphen (Parabel) gegeben und ein beliebiger Punkt der Tangente (der Punkt liegt aber außerhalb des Graphen). Man muss den Berührpunkt berechnen.
Soweit ich das verstehe, muss ich doch die Tangentengleichung aufstellen, aber wie mache ich das, wenn keine Steigung angegeben ist?! :/
5 Antworten
Hallo,
nenn doch bitte mal die Funktion, sowie den beliebigen Punkt, falls er bekannt ist.
Wahrscheinlich musst du die Funktion des Graphen ableiten (damit bekommt man die Steigung) und dann irgendwie mit der Geradengleichung verwurschteln. Das lässt sich allerdings besser erklären, wenn man Werte hat.
Gruß
So, die Ableitung hast du schonmal korrekt bestimmt:
f(x) = -0,5x² + 4
f'(x)= -x
Die Geradengleichung lautet ja im Allgemeinen:
m*x+b=y
Mit dem Punkt P(0/6) lässt sich schonmal der Y-Achsenabschnitt bestimmen, bzw man kann diesen direkt ablesen. Nämlch 6.
b=6
m*x+6=y
Jetzt brauchst du noch einen Schnittpunkt. Damit der Schnittpunkt nur ein Berührpunkt ist muss die Steigung in diesem Punkt im Graph, sowie der Geraden gleich sein. Also setzen wir in unsere geradengleichung für m (die Steigung) unsere Ableitung des Graphen ein (denn die Ableitung beschreibt ja die Steigung des Graphen) und setzten zusätzlich diese Gerade mit der Funktion des Graphen gleich, damit wir den Schnittpunkt erhalten.
(f'(x)) * x + 6 = f(x)
[f'(x) für m eingesetzt und dann gleich f(x) gesetzt]
(-x) * x + 6 = -0,5x² + 4
das alles nach x auflösen (erspar ich mir jetzt):
x1 = 2 und x2= -2
Es gibt also zwei Möglichkeiten für eine Tangente. Da du nur einen berechnen sollst kannst du dir einen Wert aussuchen.
x1 = 2
Das setzt du jetzt in die Graphenfunktion ein, um den y-Wert zu erhalten: f(2) = 2 Tanpentenpunkt (2/2)
jetzt kennst du zwei Punkte, nämlich den Gegebenen und den eben berechneten und kannst die Gerade berechnen.
Alternativ könntest du mit dem eben berechneten x-Wert die Steigung in diesem Punkt berechnen (einfach in die Ableitung einsetzen).
f'(2) = - 2
und dann einfach in die Geradengleichung einsetzen
-2 *x + 6 = y
Hoffe du hast das Verstanden.
Gruß
Wir haben also meinetwegen die Funktion
f(x) = -1/2 * x² + 4 und den Punkt P(0|6) gegeben. Wir versuchen die Tangentengleichung
t(x) = mx + b herauszufinden. Wir kennen bereits einen Punkt auf der Tangente, den können wir in die Gleichung einsetzen:
6 = t(0) = b. Daher ist t(x) = mx + 6.
Nun suchen wir den Berührpunkt der Tangente an die Parabel. Der Berührpunkt B(p|q) muss folgende Bedingungen erfüllen:
f(p) = q, also -1/2 * p² + 4 = q
t(p) = q, also mp + 6 = q.
f '(p) = m, also -p = m. Diese letzte Gleichung können wir sofort in die zweite einsetzen und erhalten:
p² + 6 = q. Nun dürfen wir die ersten beiden Gleichungen gleichsetzen:
-1/2 * p² + 4 = -p² + 6, also 1/2 * p² = 2 oder auch p² = 4.
Somit ist p = 2 oder p = -2. Über f(p) = q kann man leicht die Punkte ausrechnen, die als Berührpunkte infrage kommen.
p² + 6 = q
Hier muss es -p² + 6 = q heißen, ich hab es danach aber richig fortgeführt...
..."Kurzer Prozess":
Eine Tangente an die Parabel
f(x) = 4-0,5x^2 = -x²/2 +4
hat mit f'(x) = -x für beliebiges, aber festes x = p die Form (>http://de.wikipedia.org/wiki/Tangentengleichung#Tangente_in_der_Analysis):
t(x) = f(p) + (x -p)f'(p)
= -p²/2 +4 + (x -p) ( -p)
= -px +p²/2 +4, (1)
Sie enthält den Punkt (0|6) genau dann, wenn t(x) = 6 für x = 0, also:
6 = 0 + p²/2 +4; | -4; | * 2; | ± √
± 2 = p;
mit Einsetzen in (1) sind die beiden möglichen Tangenten:
t(x) = ±2x + 6
Graphische Vorstellung:
x = p ist die x-Koordinate eines Berührpunkts.
Wegen f(x) = f(-x) ist die Parabel symmetrisch zur y-Achse. Also ist (bei Spiegelung an der y-Achse) auch Spiegelbild einer Tangente wieder eine Tangente.
Kannst Du schon ableiten?
Dann bilde die Ableitung der Parabel. Die Tangente hat bei y = mx +a die Steigung m. Setze das bei der Ableitung ein. Danach musst Du nur noch den Punkt außerhalb der Parabel einsetzen.
http://www.youtube.com/watch?v=4HYjQCRZYjk ; hier vielleicht.
Funktion: y= 4-0,5x^2 und der Punkt Y(0/6)