Kann mir jemand helfen, das Taylorpolynom mit Restglied in einem Entwicklungspunkt zubestimmen?

Hallo,

kann mir eventuell jemand bei folgender Aufgabe helfen? Danke im Voraus!

Answer 1

[eterneladam]

1/(2+x²) - arctan(x) an der Stelle 0: 1/2

d/dx(...) = -(2 x)/(2 + x^2)^2 - 1/(x^2 + 1), an der Stelle 0: -1

d²/dx²(...) = (8 x^2)/(2 + x^2)^3 + (2 x)/(x^2 + 1)^2 - 2/(2 + x^2)^2, an der Stelle 0: -1/2

Das führt zum Taylor Polynom T2

1/2 - x - x^2/4

Für das Lagrange-Restglied eine weitere Ableitung

d^3/dx^3(...) = -(8 x^2)/(x^2 + 1)^3 + (24 x)/(2 + x^2)^3 + 2/(x^2 + 1)^2 - (48 x^3)/(2 + x^2)^4

Das kann man ganz grob nach oben abschätzen, indem man in den Nennern immer x=0 setzt,

-(8 x^2)/(1)^3 + (24 x)/(2)^3 + 2/(1)^2 - (48 x^3)/(2)^4,

und dann auf [-1,1]:

| -(8 x^2)/(1)^3 + (24 x)/(2)^3 + 2/(1)^2 - (48 x^3)/(2)^4 | <= 8 + 24/8 + 2 + 48 / 16 = 16,

d.h. man kann C = 16 nehmen.

Die Auswertung an den Stellen -1, 0 und 1 überlasse ich dir.