Mehrdimensionale Analysis Grenzwerte & Stetigkeit?

Kann mir jemand kurz erklären ob diese Grenzwerte vorkommen können oder nicht und warum?

Habe da gerade noch Verständnisprobleme.

(meine Lösungen sind nur geraten)

Answer 1

[mihisu]

Bei einem „kann vorkommen“ könnte man als Begründung ein entsprechendes Beispiel angeben, bei dem das so ist. [Auch wenn keine Begründung in der Aufgabe verlangt ist.]

Bei einem „kann nicht vorkommen“, könnte man zeigen oder zumindest begründen, warum das nicht vorkommen kann. [Auch wenn keine Begründung in der Aufgabe verlangt ist.]

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------ Zu (i) ------

Das „kann vorkommen“. Der Grenzwert kann durchaus existieren. Allerdings wird dieser Grenzwert dann nicht mit dem Funktionswert f(0, 0) übereinstimmen, da die Funktion sonst stetig an der Stelle (0, 0) wäre.

Ein mögliches Beispiel wäre...

$f:\ \mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\quad f(x, y)=\begin{cases}1 & \text{ für }(x, y)\ne (0, 0)\\2 & \text{ für }(x, y)= (0, 0)\,\end{cases}$

Bei dem Beispiel existiert der angegebene Grenzwert. Es ist nämlich offensichtlich

$\lim\limits_{(x, y)\to (0, 0)}f(x, y)=1$

Und f ist auch, wie gefordert, nicht stetig an der Stelle (0, 0), da der Grenzwert an dieser Stelle nicht mit dem Funktionswert übereinstimmt.

$\lim\limits_{(x, y)\to (0, 0)}f(x, y)=1\ne 2=f(0, 0)$

------ Zu (ii) ------

Das „kann vorkommen“. Es kann nämlich sein, dass der Grenzwert

$\lim\limits_{k\to \infty}f\left(\frac{1}{k}, -\frac{1}{k}\right)$

existiert, aber der Grenzwert

$\lim\limits_{(x, y)\to (0, 0)}f\left(x, y\right)$

nicht existiert.

Ein mögliches Beispiel wäre...

$f:\ \mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\quad f(x, y)=\begin{cases}1 & \text{ für }y=-x\\2 & \text{ für }y\ne -x\,\end{cases}$

Bei diesem Beispiel ist...

$\lim\limits_{k\to \infty}f\left(\frac{1}{k},-\frac{1}{k}\right)=\lim\limits_{k\to \infty}1=1=f(0, 0)$

Aber der Grenzwert

$\lim\limits_{(x, y)\to (0, 0)}f(x, y)$

existiert nicht. Denn würde dieser Grenzwert existieren, müsste einerseits

$\lim\limits_{(x, y)\to (0, 0)}f(x, y)=\lim\limits_{k\to\to \infty}f\left(\frac{1}{k}, -\frac{1}{k}\right)=\lim\limits_{k\to\to \infty}1=1$

und andererseits

$\lim\limits_{(x, y)\to (0, 0)}f(x, y)=\lim\limits_{k\to\to \infty}f\left(\frac{1}{k}, 0\right)=\lim\limits_{k\to\to \infty}2=2$

sein. Aber offensichtlich ist 1 ≠ 2.

Und da der Grenzwert

$\lim\limits_{(x, y)\to (0, 0)}f(x, y)$

nicht existiert, ist f an der Stelle (0, 0) nicht stetig.

------ Zu (iii) ------

Das „kann nicht vorkommen“. Denn wenn

$\lim\limits_{(x, y)\to (0, 0)}f(x, y)=f(0, 0)$

ist, würde direkt mit der Definition der Steigkeit reeller Funktionen an einer Stelle folgen, dass f an der Stelle (0, 0) stetig ist. Laut Voraussetzung soll f aber an der Stelle (0, 0) nicht stetig sein.

------ Zu (iv) ------

Das „kann vorkommen“. Der entsprechende Grenzwert kann durchaus existieren und gleich 0 sein. Dann kann jedoch der Funktionswert f(0, 0) nicht gleich 0 sein, da die Funktion f sonst stetig an der Stelle (0, 0) wäre.

Ein mögliches Beispiel wäre...

$f:\ \mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\quad f(x, y)=\begin{cases}0 & \text{ für }(x, y)\ne (0, 0)\\1 & \text{ für }(x, y)= (0, 0)\,\end{cases}$

Bei diesem Beispiel ist offensichtlich

$\lim\limits_{(x, y)\to (0, 0)}f(x, y)=\lim\limits_{(x, y)\to (0, 0)}0=0$

Trotzdem ist die Funktion an der Stelle (0, 0) nicht stetig, da dieser Grenzwert nicht mit dem Funktionswert f(0, 0) übereinstimmt.

$\lim\limits_{(x, y)\to (0, 0)}f(x, y)=\lim\limits_{(x, y)\to (0, 0)}0=0\ne 1=f(0, 0)$

Comments

[Javahacker]

du bist ein Held

[Javahacker]

Hey, ich habe meine Frage nochmal ergänzt. Kannst du mir erklären wie man bei mehrdimensionalen Funktionen die stetigkeit zeigt? Habe es mit Polarkoordinaten probiert aber das hat irgendwie nicht geklappt. Irgendwie kann man das auch lösen indem man Sandwichtheorem benutzt oder eine Variable eliminiert aber ich weiß leider nciht wie