Ein bei C rechtwinkeliges Dreieck ABC hat 24cm Umfang und der Innenwinkel BAC misst 72° Wie lange sind die Seiten des Dreiecks ABC?
Wie geht den nun die Aufgabe ich steh echt auf der leitung und finde in Google nichts..
4 Antworten
Der Dreieck ist Rechtwinkelig, es gilt also der Satz des Pythagoras:
a²+b² = c²
Wir kennen den Umfang also:
a+b+c = 24 =>
c = 24-a-b
a²+b² = (24-a-b)² = a²+2ab-48a+b²-48b+576 =>
576 = 48(a+b)-2ab
Jetzt müssen wir nur noch entweder a oder b durch das jeweils andere Ausdrücken:
tan(72°) = b/a (Ankethete durch Gegenkathete)
=>
b = tan(72°)*a
jetzt noch einsetzen und es kommt:
567 = 48(a+tan(72°)a)-2a*tan(72°)*a
567 = 48a(1+tan(72°))-2a²*tan(72°)
a1 = 3,22
a2 = 28,57
Die Lösung 28 scheidet wegen des Umfangs aus.
Wobei es auch sein kann, dass wir hier einfach nur die zwei Unterschiedlichen Seiten a und b des Dreiecks berechnet haben.
Ich hab noch einen Fehler der Tangens ist natürlich Gegenkathete durch Ankathete.
Die Lösung von 3cm für die Ankathete an den Winkel 72° scheint mir allerdings Plausibel zu sein.
sin(72) = cb/ab => cb = sin(72)*ab
cos(72) = ac/ab => ac = cos(72)*ab
Umfang = ab + bc + ca
=> ab + sin(72)*ab + cos(72)*ab = 24
Auf ab auflösen ... und der Rest dürft einfach sein.
Da du weißt, dass das Dreieck rechtwinklig ist, hast du zwei Winkel gegeben. Rechne dir mit der Winkelsumme im Dreieck (180°) den dritten Winkel aus. dann kannst du einfach mit Sinus, Cosinus und Tangens die Seiten berechnen.
Nur mit den Winkel alleine erhält eben nur kein eindeutiges Dreieck, weil ähnliche Dreiecke immer die selben Winkel nicht aber die selben Seitenlängen haben.
Die Angabe des Umfangs ist hier essentiell.
du brauchst mindestens die Länge einer Seite
oder du gibst Beispiele an
Braucht man nicht, es steckt sogar die Angabe aller Seitenlängen implizit in der Angabe.
Ich glaube da ist ein Fehler drinnen, halte dich mal an die Antwort von Pasbal