Satz von Heine: Wie konstruiere ich ein passendes Delta für gleichmäßige Stetigkeit?

Die originale Frage wurde gelöscht, da der Fragetitel nicht "präzise genug" sei, was das bedeutet, sei dahingestellt, da ich eigentlich so präzise war, wie es eben nur geht, widmen wir uns wieder der Frage:

Der Satz von Heine wird in meinem Lehrbuch in folgender Formulierung gegeben:

Satz (E. HEINE, 1872):

Sei K ⊂ C kompakt und f: K -> C punktweise stetig. Dann ist f gleichmäßig stetig.

Im Lehrbuch, in einem alten Skript und im Internet finde ich nur Beweise durch Widerspruch, wobei es intuitiv sinnvoll erscheint, dass man doch einfach ein passendes δ für jedes ε konstruieren könnte (unten beschreibe ich genauestens, wie ich mir das in etwa vorstelle), nur im Beweis selbst drehe ich mich im Kreis.

Mein Gedankengang ist folgender, dass, wenn K kompakt ist und f stetig, |f(z)| nach oben begrenzt ist, man kann also für alle ε > 0 und z ∈ C das δ(z, ε) := sup{δ > 0, |z-z'| < δ => |f(z)-f(z')| < ε} definieren, dann wäre für jedes ε > 0 das δ'(ε) := inf{δ(z, ε)} genau ein solches δ, das die Anforderungen von gleichmäßiger Stetigkeit erfüllen sollte. Intuitiv habe ich δ(z, ε) als den größtmöglichen Radius genommen, sodass in der Umgebung von z die Stetigkeits-ungleichung erfüllt wird (um in der "unpräzisen" ε-δ-Existenzaussage lächerlich kleine δ-s zu vermeiden). Dann aus der Menge aller δ(z, ε) das Infimum zu nehmen und als neues δ zu wählen, scheint auch korrekt, da wir das kleinste solche δ nehmen, und es somit für alle z gelten muss. Das eigentliche Problem ist, dass δ'(ε) als Infimum einer Menge von beliebig kleinen δ-s auch 0 werden kann, und das stört mich ungemein. Ich habe noch kein Gegenbeispiel gefunden, sodass δ'(ε) = 0 wird für ein ε > 0, aber meine Konstruktion beweisen kann ich auch nicht.

Ich hoffe, das war jetzt als Fragetitel und Frage an sich präzise genug, ich hoffe auf eine Antwort, in welche Richtung ich den Beweis lenken sollte, um ans Ziel zu gelangen, da der Satz als solches ja nicht kompliziert ist.

LG und Danke im Voraus!

Mathematik, Mathe
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