Ist hier die Rede von einem Warmblüter oder einem Vollblüter oder noch was anderem? Das ist mir noch nicht ganz klar....
In der Warmblutzucht bekommt das Fohlen keine vollen Papiere, da steht dann im Stammbaumteil des Vater "unbekannt" oder ähnliches. Nachkören im Sinne von Kören nach dem Decken gibt es nicht. Das Fohlen hätte so oder so dann nur die Mutterstute in den Papieren stehen.
Bei den Arabern aber zum Beispiel gibt es eine Regelung, dass ein "gekörter" Hengst (bei den Arabern anders zu verstehen als bei den Warmblütern-fast alles was Hengst ist und einigermaßen geradeaus laufen kann, wird gekört) decken darf und das Fohlen ordentliche Papiere und Geschwister bekommen kann, sobald der Hengst seine Hengstleistungsprüfung abgelegt hat, dies kann bis zu drei oder vier Jahren nach dem Decken erfolgen. Ob er dafür noch Hengst sein muss, das kann ich nicht sagen. Würde aber vermutlich wenig Sinn machen, einen Wallach zu einer HLP anzumelden, wenn man eh nicht weiterdecken möchte. Da kann aber der entsprechende Zuchverband sicherlich weiterhelfen.
Wie das bei den typischen Westernpferden aussieht, da hab ich gar keine Ahnung von.
Wenn du das Fohlen eh nur für dich haben möchtest, dann würd ich den Hengst einfach so auf die Stute lassen und gut ist. Du wirst kaum einen Besamungstechniker oder Tierarzt finden, der dir den Hengst unter den Umständen absamt. Und die Sache mit den Papieren ist dann auch nicht ganz so ärgerlich, wenn es nur für dich ist, denn auf ne Papier kann man eh nicht reiten. Eine Bekannte von mir hat etliche S-Dressuren auf nem "Weideunfall" gewonnen, wo die Mutterstute auch nur als Fohlen gebrannt wurde ohne Prämie oder ähnliches. Der Hengst vom Nachbarn ist damals aus dem Stall abgehauen, als niemand da war und hat sich zu der Stute auf die Weide gesellt....
Am besten erkundigst du dich aber direkt beim Zuchtverband deines Hengstes (er wird ja wohl irgendwie gebrannt sein) und bei dem deiner Stute, welche Möglichkeiten es gibt und welche Kosten du in Kauf nehmen kannst.