Zwischenraum zwischen Kreisen

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Mache mal eine Skizze:

Zeichne zwei gleich große Kreise, die sich berühren und darunter noch einmal zwei solche Kreise, die sich und die oberen beiden Kreise berühren und zwar so, dass die Mittelpunkte der Kreise die Eckpunkte eines Quadrates bilden (so sollen die Kreise im Sinne der Aufgabenstellung ja wohl gelegt werden, oder?)

Verbinde dann die Mittelpunkte der Kreise so, dass sich das Quadrat ergibt.

Die vier "Spitzen" der Innenfläche berühren dann die Seiten des Quadrates genau in der jeweiligen Mitte der Seiten des Quadrates.

 

Wie man sieht, besteht die Fläche A_q dieses Quadrates aus der Innenfläche A_i und den Flächen von vier Viertelkreisen, also der Fläche eines Vollkreises. Die Seitenlänge des Quadrates ist doppelt so groß wie der Kreisradius r. Der Flächeninhalt A_q des Quadrates ist somit A_q = ( 2 r ) ²

Es gilt daher:

A_q = A_i + pi * r ² = ( 2 r ) ²

<=> A_i = 4 r ² - pi r ² = ( 4 - pi ) * r ²

 

Die Innenfläche A_i ist also genau dann kleiner als eine der Kreisflächen, wenn gilt:

A_i < pi * r ²

<=> ( 4 - pi ) * r ² < pi * r ²

<=> 4 - pi < pi

<=> 4 < 2 * pi

<=> 2 < pi

 

Das aber ist immer der Fall. 

Also ist die Innenfläche immer kleiner als eine der Kreisflächen. 

Sooo genau wollte ich das nicht kommentieren. Aber DH!

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Lege doch mal vier gleiche Münzen so aneinander und dann siehst Du es es schon mit bloßen Augen. Ich sage aber jetzt nicht, was man sieht.

Zeichne die 4 Kreise, jeden mit Radius r. Verbinde die Mittelpunkt der Kreise: Du erhältst ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 r, also mit der Fläche 4 r². Das Quadrat enthält ein Viertel jedes Kreises; die gesamte Kreisfläche innerhalb des Quadrats ist also gleich der Fläche eines Kreises A =  π r². Die nicht von Kreisen ausgefüllte Fläche ist also 4 r² - π r² = ( 4 - π ) r². Das Verhältnis dieser Fläche zur Kreisfläche ist ( 4 - π ) r² / ( π r² ) = ( 4 - π ) / π = 4 / π - 1 = 0,27... < 1.

Der Zwischenraum zwischen den 4 Kreisen ist also kleiner als die Fläche eines der Kreise.

Das Rechnen kann man sich sogar sparen: Das Quadrat mit den vier Kreismittelpunkten als Eckpunkte ist ein Quadrat Q mit der Seitenlänge 2 r. Verbindet man außerdem die vier Berührungspunkte der Kreise, erhält man ein weiteres Quadrat Q', das in Q liegt und genau die Hälfte der Fläche von Q hat. Die Kreislinien verlaufen überall innerhalb von Q', d. h. die Fläche eines Kreises (die Fläche von vier Vierteln eines Kreises) ist größer als Q', und die Fläche zwischen den Kreisen ist kleiner als Q'.

Es folgt, dass die Fläche zwischen den vier Kreisen kleiner ist als die Fläche eines Kreises.

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