Zwillingsparadoxon: 2 Fragen?

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4 Antworten

…ich hätte eine zweigeteilte Frage zum Zwillingsparadoxon.

Du meinst nicht das Zwillingsparadoxon, sondern den Effekt, den man ebenso häufig wie inakkurat »Zeitdilatation« nennt. Dem Zwillingsparadoxon habe ich ein eigenes »Kapitel« gewidmet.

Koordinatensysteme und Relativitätsprinzip

Sei K ein Koordinatensystem, das als Bezugssystem dient, also als ruhend gilt. Ein weiteres Koordinatensystem K' bewege sich relativ zu K konstant mit v in x₁-Richtung.

Nach Galileis Relativitätsprinzip (RP) gelten in K' dieselben Naturgesetze wie in K, und man kann K' mit demselben Recht als ruhend betrachten und alle Koordinaten von K in K' umrechnen. Zu den Naturgesetzen gehören aber auch die Gesetze der Elektrodynamik und damit auch die Lichtausbreitung mit c.  

Die sogenannte Zeitdilatation

Mit dem so genannten Lichtuhr-Gedankenexperiment (http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/SRT/Zeitdilatation.html) lässt sich daraus herleiten, dass eine mit K' mitbewegte Uhr in K um den Faktor

 (1.1) γ := 1/√{1 – β²} := 1/√{1 – (v/c)²}

verlangsamt laufen muss. Zugleich ist der Gang der Uhr auf tieferem Gravitationspotential verlangsamt, insgesamt

(1.2) γ = 1/√{1 – β² – 2GM/c²r},

wobei G die Gravitationskonstante und M die Masse eines Himmelskörpers (z.B. der Erde) ist.

Atomuhren und radioaktiver Zerfall

Die erste wäre, ob dieser Effekt beim Zeitmessen auch bei Atomuhren funktionieren würde?

Das wurde im Haefele-Keating- Experiment auch für makroskopische Systeme bestätigt.

Die zweite Frage ist ob ein radioaktiver Zerfall dadurch auch verlangsamt werden könnte? Vielen Dank!

Und natürlich beeinflusst dieser Effekt sogar den radioaktiven Zerfall, denn nur, weil jede Uhr durch Bewegung und Gravitationspotential in derselben Weise beeinflusst wird, kann man von Beeinflussung der Zeit sprechen.

In der oberen Atmosphäre erzeugte Myonen beispielsweise, die mit Elektronen verwandt sind, aber zerfallen, erreichen nur in der Zahl den Erdboden, in der sie es tun, weil sie der »Zeitdilatation« unterliegen.

Verwendet man das Ruhesystem der Myonen selbst als Bezugssystem, so kommt diesen die Erde mit hoher Geschwindigkeit entgegen, was den Weg um γ verkürzt (»Längenkontraktion«).

Zwillingsparadoxon

Als solches bezeichnet man den Einwand, dass man doch auch K' als ruhend betrachten müsse und daher ebensogut die in K ruhende Uhr langsamer als die in K' ruhende laufen müsse wie umgekehrt und das doch ein Widerspruch sei.

Dies beruht auf dem Denkfehler, es sei einfach Δt' = Δt/γ, und das ist eine grobe Vereinfachung. Man muss schon eine richtige Lorentz-Transformation durchführen, um von K nach K' umzurechnen und umgekehrt. Die erweist sich als Drehung in der Raumzeit.

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Legst Du 2 Salamis derselben Länge L und Dicke d in einem Winkel α nebeneinander, so ist die Länge jeder der beiden, projiziert auf die Länge der jeweils anderen, nur L·cos(α), und zwar wechselseitig.

Schneidest Du beide Salamis quer zu einer der beiden an, so hat die Schnittfläche der anderen die Länge d/cos(α).

So ähnlich musst Du Dir dies auch in der Raumzeit vorstellen, allerdings unter Berücksichtigung der Unterschiede zwischen Raum und Zeit.

Galilei- und Lorentz-Transformation

In der altklassischen Mechanik geschieht die Umrechnung zwischen K und K' durch die Galilei-Transformation

(2.1) Δt'   = Δt
(2.2) Δx₁' = Δx₁ – vΔt
(2.3) Δx₁ = Δx₁' + v·Δt' = Δx₁' + v·Δt,

wobei die Rück-Transformation (1.3), wie das RP verlangt, eine Galilei-Transformation zu –v ist.

Modifiziert man (1.1-3) so, dass sie c invariant lassen, muss man auch die Zeit mittransformieren und kommt auf die Lorentz-Transformationen

(3.1) Δt'   = γ(Δt – (v/c)(Δx₁/c)) 
(3.2) Δx₁' = γ(Δx₁ – v·Δt) 
(3.3) Δt   = γ(Δt' + (v/c)(Δx₁'/c))
(3.4) Δx₁ = γ(Δx₁' + v·Δt').

Auch in diesem Fall sind die Rücktransformationen (3.3-4) wieder Lorentz-Transformationen zu –β, wie oben bei den Galilei-Transformationen auch.

Die Zeit t'=x₀'/c ist also in K nicht etwa »auseinandergezogen« (das heißt »Dilatation« nämlich), sondern gleichsam gekippt oder gedreht. Gleichzeitigkeit ist in der Relativitätstheorie von der Wahl des Bezugssystems abhängig, was durch das Argument des Zwillings-Paradoxons nicht berücksichtigt wird.  

Lorentz-Transformation als Drehung in der Raumzeit

Statt K und K' als relativ zueinander bewegte 3D-Koordinatensysteme zu betrachten, fasst man in der Relativitätstheorie die Zeit mit dem Raum zur Raumzeit zusammen. Mit der Koordinate x₀ := ct werden (3.1-4) zu

(4.1) Δx₀' = γ(Δx₀ – β·Δx₁) 

(4.2) Δx₁' = γ(Δx₁ – β·Δx₀) 
(4.3) Δx₀ = γ(Δx₀' + β·Δx₁')
(4.4) Δx₁ = γ(Δx₁' + β·Δx₀'),

und mit der sog. Rapidität ς=artanh(β) wird das zu

(5.1) Δx₀' = Δx₀·cosh(ς) – Δx₁·sinh(ς) 
(5.2) Δx₁' = Δx₁·cosh(ς) – Δx₀·sinh(ς)
(5.3) Δx₀ = Δx₀'·cosh(ς) + Δx₁'·sinh(ς)
(5.4) Δx₁ = Δx₁'·cosh(ς) + Δx₀'·sinh(ς),

was einer Drehung zwischen K und dem um φ gedrehten Koordinatensystem K° entspricht:

(6.1) Δx₁° = Δx₁·cos(φ) – Δx₂·sin(φ) 
(6.2) Δx₂° = Δx₂·cos(φ) + Δx₁·sin(φ)
(6.3) Δx₂ = Δx₂°·cos(φ) + Δx₁°·sin(φ)
(6.4) Δx₁ = Δx₁°·cos(φ) – Δx₂°·sin(φ).

Dass in (5.1-4) Hyperbelfunktionen an die Stelle der trigonometrischen Funktionen treten, hängt mit der aus der Forderung der Invarianz von c folgenden Minkowski-Metrik 

(7) (Δx₀)² – ∑ₖ₌₁³ (Δxₖ)² ≡ (Δx₀')² – ∑ₖ₌₁³ (Δxₖ')²

(die eigentlich eine uneigentliche Metrik ist, da der Abstand zweier verschiedener Punkte gleich 0 sein kann, nämlich, wenn sie mit einem Lichtsignal verbunden sein könnten). Das Minuszeichen in (7) macht den Unterschied zwischen der Zeitkoordinate und den Raumkoordinaten aus.

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  Beides " ja " Mach dich mal schlau, was der ===> Mössbauer-Effekt ( ME ) besagt. Rudolf Mössbauer war ja DAS Bastelgenie. So fragte ihn eines Tages der Instituts-Elektriker

   " Ist jetzt die Erdleitung oder das spannungsführende Kabel braun? "

   " Sind eigentlich Sie der Elektriker oder ich? "

   Weißt du noch, was ein Plattenspieler ist? Zu Möössbauers Zeiten gab#s sowas noch zu kaufen; langsamste Umdrehung 16 pro Minute. Den nahm er jetzt auseinander und montierte ein Getriebe an den Plattenteller, das er runter regeln konnte bis zu einer Umdrehung pro Jahrtausend. Den Plattenteller verstärkte er jetzt auch, dass der 3 m Durchmesser hat.

    In die Radnabe setzest du das eine Nuklid, den Emitter. Und auf die Peripherie den Absorber. Wenn du jetzt den ME verstanden hast, müsste eigentlich klar sein: Der Absorber fängt alle Gammaphotonen des Emitters durch Resonanz-Absorption.

   Mössbauer testet nun, bei welcher Drehzahl der ( von Einstein vorher gesagte ) ===> transversale Dopplereffekt eintritt - er hat ihn tatsächlich gefunden ( und damit die ===> natürliche Linienbreite )

    Sollte dir meine Auskunft nicht klar sein - meld dich ruhig nochmal. Ich kann mich übrigens dunkel erinnern; im Kernphysik Praktikum meldete ich mich auch für ein Mössbauer Experiment.

   Was ich übrigens von den grün alternativen Atomkraftgegnern halte; ausgerechnet " Ulli " , ein Grüner, der damit prahlte, dass er jeden Morgen auf nüchternen Magen 1 l Tomatensaft trinkt, wollte mit mir in dieses Praktikum. Sagt der Assistent, Alfastrahler sollten Sie nicht unbedingt in die Hosentasche stecken.

   Was tut der Ulli? Er steckt mir das Ding in die Hosentasche ...

    Dann ließen die uns nachrechnen, wie gefährlich dass eine Neutronenquelle ist. Dass du die mindestens 2 m von dir weg halten musst - okay; so lang ist kein Arm.

   " Sie haben also verstanden: Halten Sie das Ding Ihrem Nachbarn nicht unter die Nase. "

    Genau das tat Ulli ....

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Die Zeit selbst ist relativ, da ist es egal, was du als Messinstument verwendest, das Altern eines Menschen, den Lauf einer (Atom-)Uhr oder den Zerfall radioaktiven Materials.

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Kommentar von ich0089
31.08.2016, 17:24

Die zeit ist genauso wie die Geschwindigkeit relativ bis auf die absolute Lichtgeschwindigkeit. Nur man kann ja theoretisch per wurmlöcher in die Vergangenheit reisen und dazu bräuchte man wiederum überlichtgeschwindigkeit die es ja eigentlich nicht geben dürfte. Wäre dann die überlichtgeschwindigkeit relativ oder absolut?

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Kommentar von ich0089
31.08.2016, 21:48

Ich will deine Kenntnissen sicher nicht in frage stellen aber laut einsteins allgemeiner Relativitätstheorie wäre es zumindest nicht ausgeschlossen

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Frage 1: Ja, wurde sogar experimentell bewiesen: https://de.wikipedia.org/wiki/Hafele-Keating-Experiment

Für die Genauigkeit von GPS-Empfängern ist sogar essentiell, daß beide Effekte (sowohl SRT als auch ART) beachtet werden.

Frage 2: Ja.

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