Zum Thema Ableitung bzw. Differenzieren in Mathe?

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2 Antworten

f(x) = (4x^6-6x+10) / (x²+1)³

Wir setzen u(x) = 4x^6-6x+10 und v(x) = (x²+1)³.

Da f(x) = u(x) / v(x) gilt nach der Quotientenregel

f '(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]².

Mit u'(x) = 24x^5-6 und v'(x)=6x(x²+1)² folgt dann

f '(x) = [(24x^5-6)(x²+1)³-(4x^6-6x+10) * 6x(x²+1)²] / [(x²+1)³]² =

(x²+1)²[(24x^5-6)(x²+1)-6x(4x^6-6x+10)] / (x²+1)^6 =

[(24x^5-6)(x²+1)-6x(4x^6-6x+10)] / (x²+1)^4 =

[24x^7+24x^5-6x²-6-24x^7+36x²-60x] / (x²+1)^4 =

[24x^5+30x²-60x-6] / (x²+1)^4.

............

f(x)= (5x²+3x+1) Wurzel(3x²+4) =

(5x²+3x+1) (3x²+4)^(1/2).

Wir setzen u(x) = 5x²+3x+1 und v(x) = (3x²+4)^(1/2).

Dann ist u'(x) = 10x+3 und

v'(x) = 3x(3x²+4)^(-1/2) = 3x / (3x²+4)^(1/2) =

3x / Wurzel(3x²+4).

Da f(x) = u(x) * v(x) gilt nach der Produktregel

f '(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x).

Somit erhalten wir

f '(x) = (10x+3) Wurzel(3x²+4) + (5x²+3x+1) * 3x / Wurzel(3x²+4) =

(10x+3) Wurzel(3x²+4) + (15x³+9x²+3x) / Wurzel(3x²+4) =

(10x+3) Wurzel(3x²+4) Wurzel(3x²+4) / Wurzel(3x²+4) + (15x³+9x²+3x) / Wurzel(3x²+4) =

(10x+3) (3x²+4) / Wurzel(3x²+4) + (15x³+9x²+3x) / Wurzel(3x²+4) =

[ (10x+3) (3x²+4) + 15x³+9x²+3x ] / Wurzel(3x²+4) =

[ 30x³+40x+9x²+12 + 15x³+9x²+3x ] / Wurzel(3x²+4) =

[ 45x³ + 18x² + 43x + 12 ] / Wurzel(3x²+4).

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 4x^6 -  6x + 10
 ---------------------
   (x^2  + 1 )^3

Wenn ich mir das auf dem angehängten Bild anschaue, sollst du bei dieser Aufgabe ja gar nicht die Ableitungsfunktion angeben, sondern lediglich die Steigung an einer bestimmten Stelle. Da ist es oft einfacher, das  mit der h-Methode zu machen: 

f'(0) = lim h-> 0 (f(h) -f(0))/h

Es ist 

f(h) - f(0) = (4h^6 - 6 h - 10)/(h²+1)³ - 10 

= (4 h^6 - 6h - 10 + 10 (h²+1)³ ) / (h²+1)³

= (4 h^6 - 6h - 10 + 10 (h^6 + 3 h^4 + 3h² + 1) ) / (h²+1)³

= (4 h^6 - 6h - 10 + 10 h^6 + 30 h^4 + 30 h²+10 ) / (h²+1)³

= (4 h^6 - 6h + 10 h^6 + 30 h^4 + 30 h²) / (h²+1)³

Teile ich das durch h, so habe ich

(f(h) - f(0)) / h = (4 h^5 - 6 + 10 h^5 + 30 h^3 + 30 h) / (h²+1)³

Da kann ich ganz entspannt h->0 gehen lassen (im Nenner steht dann ja 1), alle Summanden mit mindestens einem h fallen weg, und es bleibt 

f'(0) = -6

Und schon bin ich fertig. 

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