Zu zeigen: arctan(1/×) = sgn(x) PI/2 - arctan (x)?

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3 Antworten

Der folgende Beweis setzt lediglich folgende Dinge voraus

1) arctan(x) = -arctan(-x)

2) arctan(1) = pi/4

3) arctan'(x) bekannt.

Für einen Uni-Professor schon zuviel, trotzdem ..

Es sei f1(x) = arctan(x), f2(x) = arctan(1/x), f(x) = arctan(x) + arctan(1/x)

f1'(x) = 1/(x^2 + 1)
f2'(x) = 1/( (1/x)^2 + 1) * -x^-2 = - 1/(x^2 + 1), für alle x!=0

f'(x) = f1'(x) + f2'(x) = 0, für alle x!=0

d.h. f(x) = const, für alle x!=0

Wegen arctan(x) = - arctan(-x) und arctan(1) > 0 gilt

f(x) = +C, für x > 0
f(x) = -C, für x < 0

Wegen

f(1) = f1(1) + f2(1) = arctan(1) + arctan(1/1) = 2 * pi/4 ist C = pi/2

also f(x) = pi/2 * sgn(x)

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Dazu müsste man wissen, welche Hilfsmittel erlaubt sind. Man könnte zum Beweis z.B. Additionstheoreme von tan, sin, cos oder auch arctan verwenden. Das setzt aber voraus, dass diese (im Sinne der Aufgabe) als bereits bewiesen gelten.

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Mein Mathestudium ist zwar schon etwas her, aber ich denke die Taylorreihenentwicklung wird hier der Schlüssel sein. Schau dir mal die Taylorreihe von arctan x und arctan 1/x an.

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