Zeitdilatation wenn ich exakt eine Sekunde mit Lichtgeschwindigkeit fahre?

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Hallo, mich interessiert brennend die Frage, um wieviel Sekunden, Minuten, Std. ich jünger wäre im Vergleich zu meinem imaginären Zwilling, würde ich für exakt eine Sekunde mit, sagen wir mal 99,9% der Lichtgeschwindigkeit reisen?

Meine Gegenfragen habe ich ja schon formuliert. Als Vorbereitung auf eine Antwort gehe ich noch auf die Zeit»dilatation« und ihre Begründung aus der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) selbst ein.

Woher kommt die Zeit»dilatation«?

Das A und O an der SRT ist das

Galileische Relativitätsprinzip und deren Anwendung auf die Elektrodynamik

:

  1. (Fort-) Bewegung ist immer nur relativ zu einem Bezugs- oder Referenzsystem K_A definiert, das in diesem Kontext als ruhend gilt.
  2. Ist K_B ein Koordinatensystem, das sich relativ zu K_A mit konstanter Geschwindigkeit v bewegt, gelten in ihn dieselben Naturgesetze, und es kann ebenso gut als ruhend und im Gegenzug K_A als mit –v bewegt angesehen werden.
  3. Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen mit c folgt aus den Gesetzen der Elektrodynamik und unterliegt daher ebenfalls dem Relativitätsprinzip. Ein relativ zu K_B ruhender Beobachter B muss bei Messungen der Lichtgeschwindigkeit ebenso den Betrag c herausbekommen wie ein relativ zu K_A ruhender Beobachter A.

Mit dieser Vorüberlegung lässt sich die Zeit»dilation« gut mit dem

Lichtuhr-Gedankenexperiment

motivieren. Eine Lichtuhr ist eine zunächst hypothetische Vorrichtung aus zwei Spiegeln im Abstand d, zwischen denen ein gepulstes Lichtsignal hin- und her reflektiert wird und so einen Takt mit der Dauer T=d/c vorgibt. Der Einfachheit halber wählen wir K_A, K_B so, dass

v

= (v; 0; 0)

ist, und eine in K_B ruhende Lichtuhr L_B sei in x2-Richtung ausgerichtet. Mit K_B als Referenzsystem ist die Geschwindigkeit des Signals

(1.1)

c

_B = (0;±c;0).

und mit K_A als Referenzsystem

(1.2)

c

_A = (v;±√{c²–v²};0) = (v;±c√{1–(v/c)²};0),

woraus sich die Taktdauer

(2) T_A(L_B) = d/{c√{1–(v/c)²}} =: (d/c)γ

mit dem

Lorentz-Faktor

γ ergibt. Dem Relativitätsprinzip gehorchend geht

eine beliebige

relativ zu K_B ruhende Uhr U_B um γ langsamer - in Bezug auf K_A als Referenzsystem.

v≪c und v→c

Im Newtonschen Grenzfall

v≪c ist

(3.1) γ ≈ 1/{1–v²/2c²} ≈ 1 + v²/2c²,

d.h. die Abweichung von 1 ist winzig, liefert aber immerhin die klassische Formel

(3.2) E_kin = E_0(γ–1) ≈ E_0v²/2c² = mv²/2

für die kinetische Energie.

Im anderen Grenzfall

v=(1–δ)c mit δ≪1 ist

(3.3) γ = 1/√{1–(1–δ)²} ≈ 1/√{2δ},

d.h. bei 99,9% = (1–10¯³) wäre das beispielsweise √{500}≈22,36.

Könntest Du mit dieser Geschwindigkeit losfahren und nach Δt_A=1s wieder anhalten, würde U_B weniger als eine Zwanzigstelsekunde anzeigen, doch Du wärest allerdings knapp eine Lichtsekunde weit gefahren.

Würdest Du hingegen nach Δt_B=1s anhalten, so sähest Du Dich in 22,36 Lichtsekunden Entfernung, aber zugleich auch um 22,36s in die Zukunft katapultiert. Bei δ = 1–5×10^{-11} oder c–1,5cm (!) ist γ=10^5, das entspricht etwas mehr als 1 Tag und etwa 3½ Stunden pro Sekunde.

Lorentz-Transformation

»Zeitdilatation« ist übrigens ein üblicher- aber auch irreführenderweise benutztes Wort, weil in Wirklichkeit nichts »auseinandergezogen« wird. Es ist nicht einfach Δt_B = Δt_A/γ, sondern

(4.1)

Δt_B = γ(Δt_A – vΔx_A/c²);

Δx_B = γ(Δx_A – vΔt_A)

Diese Umrechnungsformeln zwischen (K_A als Referenzsystem) und (K_B als Referenzsystem) heißen

Lorentz-Transformationen

. Wie es sein soll, ist die Rücktransformation eine Lorentz-Transformationen zu –

v

:

(4.2)

Δt_A = γ(Δt_B + vΔx_B/c²);

Δx_A = γ(Δx_B + vΔt_B),

Deshalb funktioniert die Zeit»dilation« in beide Richtungen, d.h., eine Uhr U_A geht ebenso in Bezug auf K_B als Referenzsystem langsamer wie umgekehrt. Das erscheint paradox, ist es aber nicht. Mit

(5. 1) β := ν/c; ; x0 := ct

und die Rapidität

(5.2) ς = artanh(β)=arcosh(γ)=arsinh(βγ)

wird (4.1) zu

(6) Δx0_B = γΔx0_A – γβΔx1_A = Δx0_A cosh(ς) – Δx1_A sinh(ς);

Δx1_B = γΔx1_A – γβΔx0_A = Δx1_A cosh(ς) – Δx0_A sinh(ς)

Eine Lorentz-Transformation ist also gleichsam eine Drehung um eine räumliche Ebene, in diesem Fall die x2-x3-Ebene, und die Zeit»dilatation« ist somit in Wahrheit die Projektion eines Vorangs auf die Zeitachse eines gedrehten Koordinatensystems.

Leider ist mein erster Post nicht so geworden, wie ich gehofft hatte. Jetzt versuche ich es so:

[Wie ist die] Zeitdilatation wenn ich exakt eine Sekunde mit [fast] Lichtgeschwindigkeit fahre?



Ich konnte im Internet auf meine Frage leider keine konkrete Antwort finden.

Wundert mich eigentlich. Wahrscheinlich, weil das Szenario völlig unrealistisch ist und absolut tödlich. Rechnen kann man es trotzdem - unter Voraussetzungen.

Allerdings habe ich gleich am Anfang zwei Gegenfragen:

  1. Relativ zu was? Geschwindigkeit ist immer relativ zu einen Körper oder, etwas abstrakter, relativ zu einem Bezugssystem K_A.

  2. Eine Sekunde - nach welcher Uhr? Einer relativ zu K_A ruhenden Uhr oder Deiner Borduhr? Die würde bei v=c nämlich nichts anzeigen.

Ich werde noch genauer darauf zurückkommen.

<blockquote>[Wie ist die] Zeitdilatation wenn ich exakt eine Sekunde mit [fast] Lichtgeschwindigkeit fahre?<br/>

…<br/>

Ich konnte im Internet auf meine Frage leider keine konkrete Antwort finden.</blockquote>

Wundert mich eigentlich. Wahrscheinlich, weil das Szenario völlig unrealistisch ist und absolut tödlich. Rechnen kann man es trotzdem - unter Voraussetzungen.<br/>

Allerdings habe ich gleich am Anfang zwei Gegenfragen:<ol>

<li>Relativ zu <i>was</i>? Geschwindigkeit ist immer relativ zu einen Körper oder, etwas abstrakter, relativ zu einem Bezugssystem K_A.</li>

<li>Eine Sekunde - nach welcher Uhr? Einer relativ zu K_A ruhenden Uhr oder Deiner Borduhr? Die würde bei v=c nämlich nichts anzeigen.</li></ol>

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