Zeigen Sie, dass es für zwei zueinander zeitartige Ereignisse stets ein Inertialsystem gibt, in dem beide am gleichen Ort stattfinden!?

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2 Antworten

Zeigen Sie, dass es für zwei zueinander zeitartige Ereignisse stets ein Inertialsystem gibt, in dem beide am gleichen Ort stattfinden!?

Inertialsysteme

Ein Inertialsystem ist ein Koordinatensystem, das keiner Beschleunigung unterliegt. Ein solches ist natürlich auch das Ausgangs-Bezugssystem K, in dem Zeitpunkte und Orte beider Ereignisse Eₖ (k=1,2) zunächst als

(1) tₖ und x⃑ₖ bzw. |x›ₖ=(xₖ; yₖ; zₖ)

notiert sind. Inertialsysteme bewegen sich relativ zueinander mit konstanten Geschwindigkeiten.

Vierervektoren

Die Zeit und Die Ortsvektoren lassen sich zu so genannten Vierervektoren

(2.1) |x»ₖ = (ctₖ; x⃑ₖ) = (ctₖ; xₖ; yₖ; zₖ)
(2.2) «x|ₖ = (ctₖ; –x⃑ₖ) = (ctₖ; –xₖ; –yₖ; –zₖ)

zusammenfassen. Durch Verschiebung und Drehung kannst Du immer

(3.1) |x»₁ = (0; 0; 0; 0)
(3.2) |x»₂ = |Δx» = (cΔt; Δx; 0; 0)  

erreichen. Wir nehmen im Folgenden an, dass das schon erledigt ist.

Was heißt »zeitartig«? / Andere Typen von Vierervektoren

Das Wort bezieht sich auf den in (3.2) genannten Vierervektor |x»₂ und bedeutet, dass ct₂ > x₂ ist. In diesem Fall ist nämlich das Skalarprodukt

(4.1) «x|₂|x»₂ = (ct₂)² – x₂² > 0,

und das heißt, dass es laut Behauptung ein Koordinatensystem K° gibt, in dem E₁ und E₂ gleichortig sind und

(4.2) √{«x|₂|x»₂} = √{(ct₂)² – x₂²} = ct₂° = cτ,

wobei τ die Eigenzeit heißt.

Ein lichtartiger Vierervektor |x»₃ ist einer mit

(4.3) «x|₃|x»₃ = (ct₃)² – x₃² = 0

und bedeutet, dass es von E₁ nach E₃ theoretisch immerhin ein Lichtsignal laufen könnte, daher der Name.

E₁ kann also E₂ und E₃ zumindest theoretisch beeinflussen, nicht aber E₄, wenn dessen Vierervektor |x»₄ raumartig ist, d.h.

(4.4) «x|₄|x»₄ = (ct₄)² – x₄² < 0.

In diesem Falle gibt es sogar ein Koordinatensystem K' mit t₄' < 0, in dem also E₄ zeitlich vor E₁ liegt.

Bewegtes Inertialsysten und Lorentz-Transformation 

Wie kann ich das Inertialsystem aufstellen?

Ganz einfach: Durch Lorentz-Transformation zur Geschwindigkeit

(5) |v› =  |Δx›/Δt = (Δx/Δt; Δy/Δt; Δz/Δt) = (Δx/Δt; 0; 0) = (v;0;0),

Nämlich, mit dem Lorentz-Faktor

(6) γ := 1/√{1 – ‹v|v›/c²}

(7.1) cΔt° = γ(cΔt – (v/c)) = γ(cΔt – (Δx/cΔt)Δx)
(7.2) Δx° = γ(Δx – vΔt) = γ(Δx – (Δx/Δt)Δt) = γ(Δx – Δx) = 0,

Voilà!

Stell dir ein Raumschiff vor, das von Ereignis A zu Ereignis B fliegt (das ist für zeitartig getrennte Ereignisse möglich). Das am Raumschiff "befestigte" Inertialsystem ist genau das gesuchte, denn beide Ereignisse geschehen aus der Sicht des Raumschiffs am gleichen Ort (im/am Raumschiff).

Yesral 23.11.2016, 08:35

Danke für die schnelle Antwort. Also xa=-vt und xb=x-vt?

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PhotonX 23.11.2016, 09:29
@Yesral

Ich denke, du musst die Frage so stellen: Wenn xa, xb die räumlichen Koordinaten der Ereignisse A und B sind und ta, tb die zeitlichen Koordinaten, wie muss ich die Raumschiff-Geschwindigkeit v wählen, sodass im Raumschiffkoordinatensystem gilt xa'=xb'? Nutze dafür die Lorentz-Trafo vom ungestrichenen ins gestrichene System.

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