Zeigen, dass kein Isomorphismus zwischen zwei abelschen Gruppen existiert?

 - (Mathe, Mathematik)

1 Antwort

Idee: Du kannst im Grunde mit der Elementordnung arbeiten. In ℤ₄ gibt es zwei Elemente mit Ordnung 4 (nämlich [1] und [3]). In ℤ₂ × ℤ₂ gibt es hingegen kein Element mit Ordnung 4, sondern nur Elemente mit Ordnung 2 oder 1.

Das kann man nutzen, um einen Widerspruchsbeweis zu konstruieren.

Angenommen, es gäbe einen Isomorphismus ϕ: ℤ₄ → ℤ₂ × ℤ₂. Was wäre dann ϕ([2])? (Hinweis: Nutze [2] = [1] + [1]) Was wäre andererseits ϕ([0])?

Tut mir Leid aber warum haben 1 und 3 die Ordnung 4 in Z4? Woran erkennt man das?

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@Daubeny

Die Ordnung eines Elements beschreibt, wie oft man das Element mit sich selbst verknüpfen muss, um das Nullelement zu erhalten.

Es gelten die Beziehungen [1]+[1]+[1]+[1]=[4]=[0] in Z4 und [3]+[3]+[3]+[3]=[12]=[0] in Z4.

Das Element [2] hat aber nicht die Ordnung 4: [2]+[2]=[4]=[0], das hat also nur die Ordnung 2.

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@Daubeny

In ℤ₄ ist...

1 ⋅ [1] = [1] ≠ [0]
2 ⋅ [1] = [2] ≠ [0]
3 ⋅ [1] = [3] ≠ [0]
4 ⋅ [1] = [0]

1 ⋅ [3] = [3] ≠ [0]
2 ⋅ [3] = [2] ≠ [0]
3 ⋅ [3] = [1] ≠ [0]
4 ⋅ [3] = [0]

Die kleinste natürliche Zahl n (mit n ≠ 0) mit n ⋅ [1] = [0] bzw. n ⋅ [3] = [0] ist n = 4, weshalb die Ordnung von [1] und von [3] in der Gruppe (ℤ₄, +) jeweils 1 ist.

Bzw. müsste man das auch nicht komplett so durchrechnen, sondern könnte ausnutzen, dass die Elementordnung ein Teiler der Gruppenordnung sein muss, also nur 1, 2, 4 für die Elementordnung in Frage kommt. Da es sich bei [1] bzw. [3] nicht um das neutrale Element handelt, ist die Elementordnung nicht 1. Wenn man dann noch mit 2 ⋅ [1] ≠ [0] bzw. 2 ⋅ [3] ≠ [0] nachweist, dass die Elementordnung nicht 2 sein kann, kann man folgern, dass die Elementordnung von [1] bzw. [3] gleich 4 sein muss.

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