Zeigen, dass die Reihe konvergiert und den Wert berechnen ?

Aufgabe 1b und 2 - (Studium, Mathematik, Universität)

2 Antworten

Hallo,

bei der Aufgabe 2 geht es um das Thema Potenzreihen.

Potenzreihen sind Reihen von der Form

(n=0 bis ∞) ∑ aₙ (x-x₀)ⁿ ,  wobei die Koeffizienten aₙ und die Variable x reelle

Zahlen sind und n ∈ ℕ.

(Ich gehe mal davon aus, dass ihr Potenzreihen im Reellen und nicht im Komplexen behandelt habt).

In der Vorlesung werdet ihr den Konvergenzradius kennengelernt haben, das ist die kleinste obere Schranke r der Zahlen | x-x₀| , für die die Reihe
∑ aₙ (x-x₀)ⁿ konvergiert.

Dann werden üblicherweise Kriterien zur Bestimmung des Konvergenzradius einer Potenzreihe vorgestellt.

Eines davon ist das Quotientenkriterium:

r = (n→∞) lim |aₙ / aₙ₊₁| ,

falls für alle n ∈ ℕ aₙ ≠ 0 gilt  (alle aₙ sind verschieden von Null).

Dieses Kriterium kannst du bei der Aufgabe 2 anwenden.

Erstmal musst du die Koeffizienten aₙ und x₀ identifizieren:

x₀ = (-1)   (  weil (x+1)ⁿ = (x - (-1))ⁿ  ) ,  und

aₙ = 1 / [ 5ⁿ(n⅓ + 1) ]

Um r zu bestimmen, berechnest du also den Grenzwert
(falls er existiert) n→∞

r = lim |aₙ / aₙ₊₁| = lim | [ 5ⁿ⁺¹((n+1)⅓ + 1) ] / [ 5ⁿ(n⅓ + 1) ] |

Wir schreiben den Term [ 5ⁿ⁺¹((n+1)⅓ + 1) ] / [ 5ⁿ(n⅓ + 1) ] um
(um den Grenzwert zu bestimmen):

[ 5ⁿ⁺¹((n+1)⅓ + 1) ] / [ 5ⁿ(n⅓ + 1) ] =

5 • [ 5ⁿ((n+1)⅓ + 1) ] / [ 5ⁿ(n⅓ + 1) ] = 5 • ((n+1)⅓ + 1) / (n⅓ + 1) =

5 • ( (1+1/n)⅓ + 1/n³ ) / ( 1 + 1/n³ )

Im letzten Schritt wurden Zähler und Nenner durch n³ dividiert (oder mit 1/n³ multipliziert).

Der Term  (1+1/n)⅓ + 1/n³ ) / ( 1 + 1/n³ ) geht für n→∞ gegen 1, also

geht der Term |aₙ / aₙ₊₁| = 5 • ( (1+1/n)⅓ + 1/n³ ) / ( 1 + 1/n³ )  für n→∞
gegen 5. Es gilt also r = 5.

D.h. die Potenzreihe konvergiert für alle x ∈ ℝ mit |x + 1| < 5, mit anderen Worten für alle x ∈ ] -6; 4 [ konvergiert die Potenzreihe der Aufgabe 2.

Gruß


P.S. Erstmal musst du die Koeffizienten aₙ und x₀ identifizieren

bitte "die Konstante" hinzufügen

Erstmal musst du die Koeffizienten aₙ und die Konstante x₀ identifizieren

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@eddiefox

PPS: Hier fehlte noch eine Klammer auf:

Der Term  ( (1+1/n)⅓ + 1/n³ ) / ( 1 + 1/n³ ) geht für n→∞ gegen 1

Hofffentlich wars das jetzt an Schreibfehlern.

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Wow! Vielen Dank für deine Mühe. Ich schau mir das mal Morgen in Ruhe an.

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1b)   → 1/4

Die Lösungen zu den Aufgaben habe ich schon. Aber ich brauche eine leicht verständliche Erklärung für den Lösungsweg. Ich muss ja auch bei anderen Aufgaben zu diesem Thema die Lösung ermitteln können :-)

LG

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@Gutefrage9595

1b) grenzwertsätze

jeden durch n teilen und dann n → unendlich

(n/n) : (4n/n  + 1/n) = 1 : (4 + 1/n)

n→unendlich

1 : (4 + 0) = 1/4

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@Ellejolka

Und diese Rechnung für 1b kann ich für jede beliebige Reihe anwenden ? Woher erkenne ich an Aufgabe 1b, dass die Reihe konvergent ist ?

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