Zeige (n über n-1)=n {n Element der Natürlichen Zahlen, n>=2}?

5 Antworten

Am verständlichsten scheint mir Folgendes:
Wenn man sich den Aufbau der Binomialzahl ansieht, heißt

(n über k)

dass ich im Nenner k! = 1 * 2 * 3 * .... * k schreibe und im Zähler genausoviele Faktoren von oben herunter, also n * (n-1)* (n-2) k-mal.
Wende ich dies auf
(n über n-1)
an, so stehen im Nenner die Faktoren von 1 bis (n - 1) und im Zähler geht es
von n bis 2 hinunter. Dann kürzt sich alles weg bis auf n.

Daher (n über (n-1)) = n

Woher ich das weiß:Eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

„(n über k) heißt dass ich im Nenner…“

Die Berechnung ist gültig, aber die Auslegung ist nicht ganz korrekt.

(n über k) bezeichnet in erster Linie, d. h. die Grunddefinition, die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. Es ist eher nebenher (ein synthetischer Fakt), dass (n über k) gleichgesetzt werden kann mit n! / (k!·(n–k)!).

Wenn man sagt „ABC heißt XYZ“, müsste man eigentlich berücksichtigen, dass XYZ wirklich eine aus der Definition unmittelbare hervorgehende Auslegung von ABC ist.

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@kreisfoermig

Die Betrachtungsweise ist dennoch sehr nützlich, wie hier nun gerade wieder zu sehen war.

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@Volens

Ich bestreite die Berechnung nicht : )
sondern nur die Auslegung.
Viele verstehen nicht, bis es zu spät ist, was der Unterschied zw. der eigentlichen Definition und einer Charakterisierung ist.

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Hallo,

(n über k)=n!/[k!*(n-k)!]

Was ist dann wohl (n über (n-1))?

Außerdem ist n!=(n-1)!*n

Klappt es nun?

Herzliche Grüße,

Willy

Da 0! definitionsgemäß=1, gilt die Aussage sogar schon für n >=1.

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Man kann bloß mitilfe der Definition auf das Ergebnis kommen, indem man mit Mengenlehre argumentiert.

DEFINITION. Seien k, n Kardinalzahlen mit k ≤ n. Bezeichne außerdem mit n eine n-elementige Menge. Dann setzt man:

(n über k) := |{A ⊆ n : |A|=k}|.

Rein mengentheoretisch ist ƒ : {A⊆n : |A|=k} ⟶ {B⊆n : |B|=n-k} definiert durch ƒ(A) = ~A = n\A eine Bijektion. Folglich

(n über k) = |{A⊆n : |A|=k}| per Definition
  = |{B⊆n : |B|=n-k}| wegen def Bijektion ƒ
  = (n über n–k)   ...1

für alle n, k mit k≤n. Da nun g : n ⟶ {A⊆n | |A|=1} definiert durch g(x) = {x} eine Bijektion ist, gilt

(n über n–1) = (n über 1) wegen (1)
  = |{A⊆n | |A|=1}|
  = |{x : x∈n}| wegen der Bijektion g
  = n,

Wzzw.

Beachte dass ich keine einzige dieser !-Formeln verwendet, sondern rein mittels Bijektivitäten argumentiert habe.

a über b ist

a! / (b! * (a-b)!)

Wenn man für a n einsetzt und für b n-1, hat man

n! / ((n-1)! * 1!)

Da n! = (n-1)! *n ist, ist

n! / (n-1)! = (n-1)!*n/(n-1)! = n.

Das Argument ist gültig aber liefert aber kein mathematisches Wissen.

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@Tannibi

Das kann ein hirnloser Automat besser machen. Wir als reflektierende Wesen sind aber mehr als das und sollten Erkenntnisse anstreben. Das ist der Hauptantrieb und der Zweck der Wissenschaften.

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Schreibs halt mal aus und denke dann daran, dass Du ja durchaus kürzen kannst...

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