Zahlensysteme (4er,5er,2er System)

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Zahlensysteme sind Darstellungen der natürlichen Zahlen, N.

Anregung: was sind Zahlen? Wie schreibt man Zahlen — sprich, wie bezieht man sich darauf? Bezeichnung und Wesen sind an sich verschieden. Die Zahlen sind 0; I; II; III; IIII; IIIII; IIIIII; usw. Doch diese primitive, fast römische Schreibweise ist zu ineffizient. Daher verwendet man einen Mechanismus, was genau wie ein Kilometerzähler im Fahrzeug funktioniert, nur mit eventuell unendlich vielen Rädern.

Satz. Sei d eine natürliche Zahl großer gleich 2, wie z. B. d = 10; 4; 5; 2; 16; 8;…

Es gibt für jedes n in N⁺ Zahlen c[0], c[1], c[2] …, c[k] ∈ {0; 1; …; d–1} für eine Zahl k≥0, so dass c[k] ≠ 0 und

  • n = c[k]·dᵏ +…+ c[2]·d² + c[1]·d¹ + c[0]·d⁰.

Weiterhin ist diese Darstellung eindeutig (d. h. es gibt keine andere Wahl für k und die c[·]).

Daraus ergibt sich eine eindeutige und vollkommene Schreibweise: die Basis-d Schreibweise für n ist c[k]…c[2]c[1]c[0].

Beispiel. die Zahl einhundertsiebenundsiebzig ist gleich 1·10² + 7·10¹ + 7·10⁰ und auch 2·4³ + 3·4² + 0·4¹ + 1·4⁰. Daher ist die Schreibweise 177 in Basis-10, und 2301 in Basis 4.

Die Basis gibt an, wieviele unterscheidbare Ziffern zur Verschlüsselung der Zahl verwendet werden dürfen. Da wir 10 Finger haben, verwenden wir das Dezimalsystem.

Der Rest ist hier gut... da man online alles angezeigt bekommt:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/Zahlensysteme.htm

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