Zahlenspiel "Telepathie"

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1 Antwort

Hi,

das ist eine richtig tolle Frage!


Zunächst eine Def.: a = 0 mod b heißt, dass a sich ohne Rest durch b teilen lässt. (Sprich: a ist kongruent modulo b).

Wir überlegen uns nun folgendes Lemma: Sei a eine Natürlich Zahl und bezeichne q(a) die Quersumme von a. Dann gilt: a - q(a) = 0 mod 9.

Beweis: Wir schreiben a in der Dezimaldarstellung:

a = 10^k * ak + 10^(k-1) * a(k-1) + .... + 10 * a1 + a0.

Dann ist a - q(a) = a - (ak + a_(k-1) + ...+ a1 + a0) = (10^k - 1) *a_k + ... + (10 - 1) * a_1

Damit eine Summe durch 9 teilbar ist, müssen alle Summanden durch 9 teilbar sein. Damit bleibt zu zeigen: (10^m-1) = 0 mod 9 (bzw.: (10^m-1) ist durch 9 teilbar) für alle m aus den Natürlichen Zahlen. Dies zeigen wir mit Induktion:

IA: m=1. Offensichtlich (10-1) = 9 = 0 mod 9

IV: Es gelte (10^(m-1) - 1) = 0mod 9 für ein m

IS: (10^m - 1) = (10^(m-1) - 1) * 10 - 9 = 0 mod 9 (Nach IV und -9 = 0 mod 9).

qed.


Sei nun t(a) eine beliebige Permutation der Dezimalstellen von a (also so, wie du es beschrieben hast) mit a - t(a) > 0. dann gilt offensichtlich q(t(a)) = q(a).

a - t(a) = a - t(a) + q(a) - q(a) = a - q(a) -t(a) + q(a) = (a - q(a)) - (t(a) - q(a)) =: Z

Nun ist aber nach unserem Lemma (a - q(a)) = 0 mod 9 und (t(a) - q(a)) = 0 mod 9.

Damit also auch die Differenz: Z = 0 mod 9.

=> Die Differenz von a und t(a) ist immer durch 9 teilbar.


Was tut dein Lehrer also? Er schaut welche Zahl er auf die Quersumme deines Ergebnisses addieren muss, damit sie durch 9 teilbar ist.

Falls du noch Fragen hast, frag einfach.

Viele Grüße, die Ente

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