Zahlenmengen sehr wichtig!

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3 Antworten

Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen ein normaler Mensch Dinge durchzählt. Sie sind also die Menge {1; 2; 3; 4; 5; .... } usw. (viele Leute sehen die 0 auch als natürliche Zahl an, das ist aber eher eine Geschmacksfrage).

Die ganzen Zahlen kann man konstruieren, indem man zu einer natürlichen Zahl ein additives Inverses erschafft. Das additive Inverse von 1 ist (-1), das von 2 ist (-2) und so weiter... Man schafft also für jede natürliche Zahl zusätzlich eine negative Zahl und packt alle zusammen in eine Menge, die man die ganzen Zahlen nennt. (Hier ist die 0 auf jeden Fall enthalten). Sie heißen "ganze" Zahlen, weil sie in Dezimaldarstellung keine Nachkommastellen haben, die ungleich 0 sind.

Die Menge aller rationalen Zahlen erhält man, indem man jede ganze Zahl durch jede ganze Zahl (ungleich 0) dividiert, das ist also die Menge aller Brüche. Ist z eine ganze Zahl, so ist z wegen z = z / 1 ebenfalls eine rationale Zahl.

Die Menge aller reellen Zahlen ist nicht so leicht zu beschreiben... Sie beinhaltet alle rationalen Zahlen sowie alle Zahlen, die "zwischen" den rationalen Zahlen sind.

Die Menge aller irrationalen Zahlen beinhaltet genau die reellen Zahlen, die nicht rational sind.

Merke:

  • Jede natürliche Zahl ist eine ganze Zahl

  • Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl

  • Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl

  • Jede irrationale Zahl ist eine reelle Zahl.

  • Keine irrationale Zahl ist rational. Also ist auch keine irrationale Zahl ganz oder natürlich.

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Die ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen, daher sind alle natürlichen Zahlen auch Elemente der ganzen Zahlen.

Die rationalen Zahlen sind eine Erweiterung der ganzen Zahlen, daher sind alle ganzen Zahlen auch Elemente der rationalen Zahlen.

Die rellen Zahlen sind eine Erweiterung der rationalen Zahlen, daher sind alle rationalen Zahlen auch Elemente der reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen, die nicht rational sind, bilden die irrationalen Zahlen. Somit sind in der Menge der irrationalen Zahlen keinerlei natürliche, ganze oder rationale Zahlen enthalten.

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Natürliche Zahlen sind ganze Zahlen größergleich 0.

Ganze Zahlen sind rationale Zahlen, deren Zähler nach vollständigem Kürzen 1 beträgt.

rationale Zahlen und irrationale Zahlen ergeben zusammen die reellen Zahlen.

Ich hoffe, das hilft dir weiter ;)

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