Zahlengruppen / Irrationale, Rationale, Natürliche, Ganze ...

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3 Antworten

Jetzt zu meiner Frage: Rationale Zahlen sind Zahlen die man als Bruch darstellen kann,

Korrekt (als gewöhnlicher Bruch, um ganz genau zu sein). Dazu gehören auch die ganzen Zahlen, weil man auch die immer als Bruch schreiben kann: 2=2/1 also ist 2 rational.

Rationale Zahlen sind Zahlen die man als Bruch darstellen kann, aber können diese auch unendlich/periodisch sein?

Ihre Darstellung im Dezimalsystem kann unendlich und periodisch sein, zB 1/3=0,(periode)3.

Und was hat es dann mit den irrationalen Zahlen/Reelen auf sich?

Irrational sind diejenigen reellen Zahlen, die sich nicht als gewöhnlicher Bruch schreiben lassen, zB Wurzel(2). Rationale und irrationale Zahlen zusammen bilden die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen entsprechen genau den Punkten auf dem Zahlenstrahl.

Irrationale kann man ja nicht als Bruch darstellen,

Korrekt (als gewöhnlicher Bruch, sollte man eigentlich sagen, dh Zähler und Nenner ganzzahlig).

aber da fällt mir nur pi ein.

Wurzel(2), Wurzel(3), Wurzel(5), etc aber auch Wurzel(1/2), Wurzel(1/3), Wurzel(2/3), etc die allermeisten dritten, vierten, fünften etc Wurzeln und vieles mehr.

Und wie kennzeichnen sich Reele Zahlen?

Die exakte Definition lernt man an der Uni. Es reicht aber für solche Fragen völlig, zu sagen: Die reellen Zahlen entsprechen eins-zu-eins den Punkten auf dem Zahlenstrahl.

Die Eigenschaft aller rationaler Zahlen ist, dass sie als Bruch dargestellt werden können. Deshalb können rationale Zahlen unendlich sein. Sind sie unendlich, so MÜSSEN sie gleichzeitig periodisch sein wie z.B. 3,3333..., denn nur unendliche periodische Zahlen können als Bruch dargestellt werden. (3,33333...=1 Drittel).

Die Zahl PI z.B ist unendlich, aber nicht periodisch. Deshalb kann sie nicht als Bruch dargestellt werden und zählt somit nicht zu den rationalen, sondern zu den irrationalen Zahlen.

Die Menge der reelen Zahlen ist die Menge aller rationaler und irrationaler Zahlen. Das heißt auch die natürlichen und ganzen Zahlen sind ebenfalls in den reelen Zahlen enthalten, denn sie zählen ja zu den rationalen Zahlen.

Irrationale Zahlen sind z.B. 3,453556...

notizhelge 19.11.2011, 14:44

Die Zahl PI z.B ist unendlich, aber nicht periodisch. Deshalb kann sie nicht als Bruch dargestellt werden

Umgekehrt: Die Zahl Pi kann nicht als (gewöhnlicher) Bruch dargestellt werden, deshalb ist ihre Dezimaldarstellung unendlich, aber nicht periodisch.

Man schließt von der Irrationalität auf die Nachkommastellen (der umgekehrte Schluß ist nicht durchführbar, weil man dazu alle Nachkommastellen von Pi kennen müsste, was unmöglich ist).

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Rationale Zahlen können periodisch sein, z.B. 1/3 = 0,333333333333333333333..... oder 1/9 = 0,1111111111111111111111....

Zahlen, die man als Bruch darstellen kann, können aber natürlich auch nicht-periodisch sein, z.B. 1/4 = 0,25.

Irrationale Zahlen sind Zahlen, die man nicht als Bruch darstellen kann und deren Nachkommastellen nicht endlich sind. Außerdem gibt es auch keinerlei Muster im Vorkommen der Nachkommastellen.

Beispiel für irrationale Zahlen sind:

Wurzel aus 2 = 1,4142...

Pi = 3,14159...

e=2,71828...

notizhelge 19.11.2011, 14:33

Irrationale Zahlen sind Zahlen, die man nicht als Bruch darstellen kann und deren Nachkommastellen nicht endlich sind. Außerdem gibt es auch keinerlei Muster im Vorkommen der Nachkommastellen.

Die Nachkommastellen sind nicht periodisch, aber Muster kann es ganz wohl geben, zB:

0,1010010001000010000010000001.... (jeweils eine 0 mehr vor der nächsten 1)

Die Nachkommastellen sind nichtperiodisch, also ist die Zahl irrational, aber die Nachkommastellen zeigen ein sehr einfaches Muster.

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