Zahlendreiecke- Beweisen von bestimmten Bedingungen. Wie kann ich etwas beweisen?

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1 Antwort

Behauptung. Die Umkehraufgabe (für anhand a,b,c ∈ ℕ⁺, Zahlen e,d,ƒ ∈ ℕ⁺ finden, so dass d+ƒ=a, d+e=b, e+ƒ=c) ist genau dann lösbar, wenn

(i) entweder jede oder genau eine der Zahlen a,b,c ist gerade;

(ii) die Summe zweier Zahlen ist immer größer als die dritte.

Beweis. (⟹-Richtung). Angenommen, es gebe e,d,ƒ ∈ ℕ finden, so dass d+ƒ=a, d+e=b, e+ƒ=c. Dann gelten:

  • a+b = 2d + e+ƒ > e+ƒ = c („>“ da d∈ℕ⁺={1;2;…}, also d>0);
    a+c = 2ƒ + d+e > d+e = b („>“ da ƒ∈ℕ⁺={1;2;…}, also ƒ>0);
    b+c = 2e + d+ƒ > d+ƒ = a („>“ da d∈ℕ⁺={1;2;…}, also d>0);
    Daher gilt Bedingung (ii)
  • aus diesen Gleichungen folgt außerdem:
    a+b ≣ c mod 2, daher, falls mindestens zwei der Zahlen a,b,c gerade sind, so auch die dritte. Daher gilt die Dichotomie der Bedingung (i).

(⟸-Richtung). Angenommen, die zwei Bedingungen gelten. (Herleitung: folgender Ansatz entspringt den notwendigen Gleichungen aus der „notwendigen“-Richtung: wir zeigen hier lediglich, dass sie hinreichend sind.) Setze

d := ((a+b)–c)/2;
e := ((b+c)–a)/2;
ƒ := ((a+c)–b)/2;

Da a,b,c in ℤ, sind die Zahlen 2d,2e,2ƒ in ℤ. Wegen Bedingung (ii) gilt sogar 2d,2e,2ƒ > 0. Also d,e,ƒ > 0. Es gilt

d+ƒ = ((a+b)–c)/2 + ((a+c)–b)/2 = 2a/2 = a
d+e = ((a+b)–c)/2 + ((b+c)–a)/2 = 2b/2 = b
e+ƒ = ((b+c)–a)/2 + ((a+c)–b)/2 = 2c/2 = c

daher sind d,e,ƒ reelle Lösung zur Umkehraufgabe. Es bleibt, zu zeigen, dass d,e,ƒ tatsächlich positive natürlichen Zahlen sind. Da 2d,2e,2ƒ ∈ ℕ⁺, reicht es aus, zu zeigen, dass 2d,2e,2ƒ gerade Zahlen sind. Wegen Bedingung (i) gilt

  • entweder 1 oder 3 der Zahlen a,b,c sind gerade, daher:
  • a+b – c ≣ 0 mod 2
    b+c – a ≣ 0 mod 2
    a+c – b ≣ 0 mod 2

da jede dieser Summen aus 1 bzw. 3 geraden und 2 bzw. 0 ungeraden Zahlen besteht. Also sind 2d,2e,2ƒ gerade. Daher sind d,e,ƒ wie oben definier positive natürliche Zahlen, die die Umkehraufgabe lösen. Daher ist die Umkehraufgabe in den positiven natürlichen Zahlen lösbar.                      QED.

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