Z^7=1-i?

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3 Antworten

Hallo,

Wurzeln aus komplexen Zahlen zieht man so:

z^n=y

z ist eine komplexe Zahl der Form a+bi, y eine komplexe Zahl der Form c+di.

y ist gegeben: 1-i, c ist also 1 und d=-1

n ist 7, weil die 7. Wurzel gesucht ist.

Die Berechnung erfolgt über Polarkoordinaten, also über einen Radius r und einen Winkel Phi.

r kannst Du aus c und d berechnen, es ist die n-te Wurzel der Wurzel aus (c²+d²), in diesem Fall also die 7. Wurzel aus der Wurzel von 1²+(-1)² oder die 14. Wurzel aus 2 (Um r zu berechnen, ziehst Du also einfach die 2*n-te Wurzel aus (c²+d²).

Die 14. Wurzel aus 2 ist 1,050756639=r

Auch Phi kannst Du aus c und d berechnen, allerdings über einen Umweg:

Du berechnest zunächst einen Winkel Alpha:

α=arctan d/c, also hier: arctan (-1)

Hast Du Deinen Rechner auf rad eingestellt, bekommst Du für 

α=-0,7853981634

Nun hast Du alles beisammen, um Phi zu berechnen:

Das geht nach der Formel:

φ(k)=(α+k*2π)/n (Rechner muß auf rad eingestellt sein, ansonsten mußt Du für Pi 360° einsetzen und natürlich auch Alpha entsprechend berechnet haben. (Ich rechne hier mit der Einstellung rad).

k ist einfach ein Index für Phi, der gleichzeitig Faktor in der Formel wird.

Es ist nämlich so, daß Du nicht nur eine Lösung bekommst, sondern n Lösungen.

Die erste Lösung bekommst Du, wenn Du für k eine 0 einsetzt, die zweite für k=1 usw. bis k=n-1.

Hier ist k also 0,1,2,3,4,5 und 6.

Du mußt diese Zahlen nacheinander in die Formel einsetzen und bekommst so sieben verschiedene Werte für Phi heraus.

Da beim ersten Wert k=0, ist Phi (0) einfach α/n, also -0,7853981634/7, da der Rest wegfällt (0*irgendwas ist 0)

Für k=1 bekommst Du Phi (1)=(α+2π)/n

Für k=2 ist Phi (2)=(α+2*2π)/n usw.

Hast Du Phi (0) bis Phi (6) berechnet und gespeichert/ notiert, geht's weiter:

Nun kannst Du die gesuchten Wurzeln z(0) bis z(6) bestimmen.

z(k) ist gleich r*[cos (φ(k))+i*sin (φ(k))]

Auf diese Weise bekommst Du alle sieben Wurzeln.

Herzliche Grüße,

Willy

also
       Z=√2^(1/7)(cos(1/7(-pi/4+2kpi))+isin(1/7(-pi/4+2kpi)))

mit k=0,1,2,3,4,5,6 haut die Formel so hin?

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@Willy1729

Alle Lösungen einer komplexen Wurzel liegen auf einem Kreis in der komplexen Zahlenebene, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist und dessen Radius die n-te Wurzel des Betrags der Zahl, deshalb ist r=
n-te Wurzel aus Wurzel (c²+d²).

Wenn Du nun um den Ursprung einen Kreis mit Radius r ziehst, liegen alle Lösungen auf diesem Kreis und bilden ein regelmäßiges n-Eck. Du mußt nur noch den Winkel bestimmen, den der erste Punkt dieses n-Ecks zur x-Achse, also zur reellen Achse bildet.

Den bestimmst Du über den arctan (d/c), den Du anschließend durch n teilst und so den Winkel phi (0) erhältst. Von diesem Punkt aus haben die weiteren Punkte jeweils den Winkelabstand von k*phi, bis Du bei k=n wieder am Anfangspunkt gelandet bist und sich der Kreis geschlossen hat.

Wenn Du Dir dies vor Augen hältst und daran denkst, daß die reelle Komponente einer komplexen Zahl in Polarform cos (phi) und die imaginäre Komponente i*sin (phi) hat, kannst Du Dir die Wurzeln auch dann herleiten, wenn Du die Formel selbst vergessen hast.

Du machst Dir dann am besten eine Zeichnung und siehst dann, wo der Hase hinläuft.

In diesem Fall ist es einfacher, nicht mit dem Bogenmaß, sondern mit Winkelmaßen zu arbeiten und zum Ursprungswinkel k*360/n zu addieren.

Willy

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@Willy1729

Korrektur:

Wenn Du von phi (0) ausgehst, haben die weiteren Lösungen nicht einen Winkelabstand von k*phi (0), sondern von k*360/n oder, wenn Du mit dem Bogenmaß arbeitest, von k*2Pi/n.

Willy

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@Willy1729

Alles klar recht herzlichen Dank.

Eines ist mir noch unklar. Unser Prof. meinte er macht die Bsp. vorher mit Buchstaben, also müssten immer schöne Zahlen oder so rauskommen. Ich probiere schon extrem lange, dass ich die Ergebnisse iwie auf ein vielfaches von pi bekomme aber iwie geht sich das nicht aus.

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@Aleha93

Das kann es auch nicht wegen n=7.

Hast Du 1-i mal in ein Koordinatensystem eingezeichnet? Die Zahl liegt da, wo sich der Punkt (1|-1) befindet.

Verbindest Du diesen Punkt mit dem Ursprung, bekommst Du einen Winkel dieser Verbindungslinie (dieses Vektors) zur reellen Achse (x-Achse) von -45° oder Pi/4.

Die Länge der Verbindung ist die Wurzel aus (1²+(-1)²), also die Wurzel aus 2.

Somit hat die erste siebte Wurzel aus 1-i die Polarkoordinaten 

r=7. Wurzel aus Wurzel 2, also die 14. Wurzel aus 2 und 

phi(0) =-45/7.

Die anderen Wurzeln ergeben sich, wenn Du für k=1 bis k=6 Winkel von k*360/7 addierst.

Das sind alles sehr krumme Zahlen, weil weder -45 noch 360 durch 7 rational teilbar sind.

Wenn Du die Polarkoordinaten der Wurzeln wieder in kartesische Koordinaten umwandeln willst,
ist der reelle Anteil (14. Wurzel aus 2)*cos (phi(k)), der imaginäre ist (14.Wurzel aus 2)*sin (phi(k)) mit phi(k)=-45/7+k*360/7

Wo sollen da glatte Zahlen herkommen?

Je mehr ich mich mit diesen komplexen Wurzeln beschäftige, desto besser gefällt mir der geometrische Ansatz. Nach der Formel aus meiner Antwort ist es z.B. nicht möglich, die Wurzel aus i zu bestimmen, also aus 0+1i.

r ist die Wurzel aus (0²+1²), also 1, das ist klar.

Alpha aber wäre der Arkustangens aus 1/0 - und da streikt der Rechner.

Zeichnest Du i aber in ein Koordinatensystem ein, also beim Punkt
(0|1), siehst Du zwei Dinge sofort: r ist gleich 1, der Abstand zum Ursprung, und Alpha ist gleich 90°, denn der Vektor zum Punkt (0|1) steht senkrecht auf der x-Achse.

Ziehst Du die Quadratwurzel, ist n=2 und phi(0) damit 90/2=45

Die erste Wurzel hat demnach die Polarkoordinaten r=1 und phi=45°, sowie die kartesischen Koordinaten 1*(cos (45)+i*sin (45)), also 

0,5*Wurzel (2)+i*0,5*Wurzel (2) (es handelt sich jeweils um die Projektionen des Vektors vom Ursprung zur Wurzel auf die reelle, bzw. auf die imaginäre Achse.

phi (1) ist dann 45+360/2=225°

Auf diese Weise kannst Du Dir auch ganz einfach klarmachen, warum es keine reellen geraden Wurzeln zu negativen Zahlen gibt; eine reelle Zahl ist eine komplexe Zahl der Form a+0*i, warum es aber durchaus ungerade reelle Wurzeln zu negativen Wurzeln gibt.

Alle Lösungen auf dem Kreis mit Radius r und Mittelpunkt (0|0), die auf der x-Achse liegen, also in Polarkoordinaten Winkel von Vielfachen von 180° haben, sind reell.

Willy

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Der Betrag von 1-i ist wurzel(2), also hat die 7. Wurzel den Betrag 7tewurzel(wurzel(2)) = 14tewurzel(2).

1-i hat die Darstellung wurzel(2) * E(7/4pi).

Damit ist die erste Lösung dann 14tewurzel(2) * E(1/4pi)  (einfach den Winkel am Einheitskreis durch 7 teilen).

Die anderen 6 Lösungen sind dann jeweills 2 * pi / 7 mehr.

Photomath rechnet dir fast alles aus :)

 - (Mathematik, Komplexe Gleichung)

Das war nicht, was er wollte.

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Es geht hier um komplexe Zahlen, nicht um das Auflösen nach einer Variablen i.

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@Willy1729

Aber falsch ist es nicht! Photomath kann bestimmt auch die eulersche Identität nach i auflösen :-)

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@ralphdieter

Stimmt; man kann die Aufgabe auch anders interpretieren, weil in der Frage nichts von komplexen Zahlen steht. Aber wenn z und i verwendet wird, liegt der Verdacht nahe.

Mein Rechner kann keine Wurzeln aus komplexen Zahlen ziehen. (Potenzieren aber geht; aber einem Programm wie Photomath ist dies durchaus zuzutrauen).

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