x^3 bei taschenrechner TI-83 Plus- wie x herausfinden?

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2 Antworten

Umgestellt : x³ - 184 = 0

Lösen der kubischen Gleichung x³ - 184 = 0 ———————————————————————————————————————

Die kubische Gleichung liegt bereits in der Normalform x³ + rx² + sx + t = 0 vor.

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Die Gleichung liegt bereits in einer reduzierten Form y³ + py + q = 0 vor, in der die Unbekannte nicht im Quadrat erscheint. Dies ist nötig, um die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia anwenden zu können.

Aus der Gleichung y³ - 184 = 0 liest man also ab:

p = 0

q = -184

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,

ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,

und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia, im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe trigonometrischer Funktionen.

Im Falle dieser Gleichung ist R = 8464.

Da R nicht negativ ist, kann die Gleichung mit der Cardanischen Formel gelöst werden:

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T = sqr((q/2)²+(p/3)³) = sqr(R) = 92

u = kubikwurzel(-q/2 + T) = 5,687733959703131

v = kubikwurzel(-q/2 - T) = 0

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y1 = u + v = 5,687733959703131

y = -(u + v)/2 - ((u - v)/2)*sqr(3)·î = -2,8438669798515654 - 4,925722099070367·î

y3 = -(u + v)/2 + ((u - v)/2)*sqr(3)·î = -2,8438669798515654 + 4,925722099070367·î

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Der Größe nach geordnet ergeben sich also diese Lösungen der kubischen Gleichung:

x1 = 5,687733959703131

x2 = -2,8438669798515654 - 4,925722099070368·î

x3 = -2,8438669798515654 + 4,925722099070368·î

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Probe: (in das Polynom eingesetzt, müssen die exakten Lösungen jeweils 0 ergeben)

x1 eingesetzt ergibt 0.

Allgemein: Dritte Wurzel. Falls dein Taschenrechner keine n-te-Wurzeltaste hat, rechnest du "hoch 1/3".

Bei dieser Aufgabe ist es aber schöner, erstmal das hier zu machen:

x = dritte-Wurzel(184) =

dritte-Wurzel(8·23) =

dritte-Wurzel(2³·23) =

2·dritte-Wurzel(23)

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