x^3 = 8 d.h. x = ± ∛8 => x= +2 und x= -2 , richtig ?

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9 Antworten

Hallo,

im Anhang findest Du die drei Wurzeln aus 8 als Punkte in der Zahlenebene.

Willy

Wurzeln aus 8 - (Schule, Mathe, Mathematik)

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Da liegst du nicht ganz richtig.

Die dritte Wurzel aus 8 ist 2, denn 2 * 2 * 2 = 8. 

Aber: 

-2 * (-2) * (-2) = -8, nicht 8. Damit fällt die -2 schon raus.

Die dritte Wurzel aus 8 ist also nur 2 und somit gibt es hier in den reellen Zahlen nur eine Lösung. Damit gibt es erst recht keine dritte Lösung.

Dafür bräuchtest du wenn die komplexen Zahlen, die man aber nicht in der Schule, sondern erst in der Hochschule behandelt. 

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Liebe Grüße

TechnikSpezi

Die erste Auffälligkeit ist schon mal. dass es bei der dritten Wurzel kein ± gibt.
2³ = 8          (-2)³ = -8

Das ist bei allen ungeraden Exponenten so. Nur die geraden haben gleiche positive und negative Wurzelwerte.

Dass es immer so viele Wurzeln gibt, wie der Wurzelexponent sagt, hatte ich dir ja schon verraten. Bisweilen sind einige davon komplex.

Im Bereich der reellen Zahlen hat die Gleichung nur die eine Lösung x1=2.

In der Grundmenge C der komplexen Zahlen gibt es allerdings noch zwei weitere Lösungen, nämlich

x2 = -1+i*√(3)   ,   x3= -1-i*√(3)

wobei i die imaginäre Einheit ist, für welche die Gleichung  i^2=-1  gilt. 

Hallo,

wie die anderen bereits schrieben, hat die 3. Wurzel von 8 nur die eine reelle Lösung 2.

Allerdings gibt es noch zwei komplexe Lösungen.

Um diese herauszufinden, schreibst Du die reelle 8 in die komplexe Zahl

8+0i um, denn 8 besteht aus einem reellen Anteil 8 und null imaginären Anteilen i.

Du suchst also ³√(8+0i)

Dazu bildest Du zunächst den Betrag von 8+0i, also √(8²+0²)=√64=8

Daraus ziehst Du die dritte Wurzel, nämlich 2, und nennst diese Zahl r.

Nun mußt Du mit Hilfe des Arkustangens einen Winkel Phi bestimmen:

Phi=arctan (0/8), also der Arkustangens des imaginären Anteils geteilt durch den reellen Anteil von 8+0i.

0/8=0

arctan (0)=0

Da die dritte Wurzel gesucht wird, gibt es drei Lösungen, die sich nach Bestimmung von r und Phi so ermitteln lassen:

xk=r*(cos (Phi+(k*2π/n))+i*sin  (Phi+(k*2π/n))

k=0;1;2

n=3

r=2

Da Phi=0 und n=3 und 2π=360°, nimmst Du für Phi zunächst 0, dann 0+1*360/3=120°, dann 0+2*360/3=240°.

x1=2*(cos (0)+i*sin (0))=2*1+0=2 (die reelle Lösung)

x2=2*(cos (120)+i*sin (120))=2*(-0,5+i*√3/2)=-1+i*√3

x3=2*(cos (240)+i*sin (240))=2*(-0,5-i*√3/2)=-1-i*√3
Die beiden komplexen Lösung sind also konjugiert komplex (sie unterscheiden sich nur durch das Rechenzeichen zwischen dem reellen und dem imaginären Anteil).

In der Zahlenebene liegen die Wurzeln einer komplexen Zahl (auch die reellen Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen) auf einem Kreis um den Ursprung mit Radius r. Sie bilden auf diesem ein regelmäßiges n-Eck, bei der dritten Wurzel (n=3) also ein Dreieck, wobei in Deinem Fall eine der drei Ecken auf der reellen Zahlengeraden liegt (nämlich die 2).

Herzliche Grüße,

Willy

die dritte Wurzel hat in den reellen Zahlen nur eine Lösung nämlich +2 denn

-2*-2*-2=4*-2=-8

in den reellen Zahlen hat eine geradzahlige Wurzel zwei Lösungen und eine ungerade nur eine.

In den komplexen Zahlen hat die n-te Wurzel n Lösungen. 

Wieder was gelernt, danke!

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Nein, falsch!
Du hast SCHON WIEDER die Probe vergessen!

(-2)³ = -8 und NICHT 8

Gewöhn dir doch bitte mal an, zuerst SELBST die Probe zu machen, bevor du hier immer wieder eine voreilige Frage zu stellst, die du ganz einfach SELBST beantworten kannst ;-)

Ich achte darauf nächstes mal... , wie finde ich jetzt 3 Werte von X? 

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@Aditya

Gar nicht! Es gibt immer nur einen!
Zeichne mal den Graphen von f(x)=x³
Dann siehst du, dass es immer nur einen x-Wert gibt für jedes x³ (injektive Funktion)

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x³=8 <=> x=2

2 * 2 * 2=8

(-2) * (-2) * (-2)=-8

Nee, falsch ... Nur bei geraden Wurzeln gibt es zwei Lösungen.

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