x^0 = 1?

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6 Antworten

Das ist ein Nebenprodukt beim Ausklammern.
Wenn du einen Ausdruck hast

x³ - x²

den du aus mathematischen Gründen (Nullstellenfindung etc.) ausklammern musst, ergibt es
x² (x - 1) .

Du hast dann x² / x² = 1 dividieren müssen. Da muss aber auch eine 1 stehen bleiben, denn du willst ja beim Wiedereinklammern etwas vorfinden, das dir sagt, an die Stelle gehöre x² hin. Der Gesamtwert des Terms darf sich nicht verändern.

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Ich hab die andere Frage auf die Schnelle jetzt nicht gefunden ....


na gut okay das habe ich verstanden, nur warum teilt man??? x)


Es geht immernoch um "hoch 0"? Man teilt hier, eben deswegen, weil "hoch 0" ja erstmal ein sinnloser Ausdruck wäre.

Zunächst bedeutet ja "x hoch n" soviel wie "nimm das x n-mal mit sich selbst mal". Da passt "hoch 0" ja nicht rein. Nun hat man ja aber ein paar Rechenregeln, zB x^m/x^n = x^(m-n) die man so verwenden kann:

Man sagt sich, "ok, ich habe da einen Ausdruck, der an sich sinnlos ist" (das wäre hier dein x^0) "Nun schaue ich mal, ob ich diesem an sich sinnlosen Ausdruck nicht doch einen Sinn geben kann. Dazu verwende ich die mir bekannten Rechenregelen, denn die müssen ja dann immer noch gelten". ---- In diesem Fall kommst du durch Multiplizieren nicht hin (sonst wäre x^0 ja auch gar kein Problem!) also schaust du die anderen Regeln an, ob du mit denen irgendwie auf "hoch 0" kommst. Das klappt hier mit der Regel
x^m/x^n = x^(m-n) wenn man m=n setzt.

Solchen "eigentlich sinnlosen" Ausdrücken doch einen Sinn zu geben, das kommt in der Mathematik öfters vor.


Ich hoffen, das ist soweit klar.

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Noch ein Wort zur Antwort von U.N.: Lass dich nicht verwirren! Das ganze hat mit einem "Zählanfang" genau garnichts zu tun. Und es wäre für x^0=1 auch noch eine andere, allgemeinere Begründung möglich: "hoch 0" wäre ein Produkt ohne Faktoren (man sagt: "leeres Produkt"), dh, man multipliziert gar nicht. Aber "garnicht multuiplizieren" ist dasselbe wie "mal 1". Du kennst ja das hier: x=1*x. Gar keine Faktor ist dasselbe, als ob da der Faktor 1 stünde. Auch dies ist ein Grund für x^0=1, und aus diesem Grund ergeben auch andere leere Produkte 1, etwa "0!" ("0 Fakultät", ebenfalls ein "eigentlich sinnloser Ausdruck") ergibt 1.


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x^0 setzt man als 1, damit die bekannten Rechenregeln für Potenzen mit natürlichen Zahlen im Exponenten erhalten bleiben. Falls dich das mit der Division verwirrt, bleiben wir erst einmal bei der Multiplikation:

  • x^1 = x
  • x^2 = x * x
  • x^3 = x * x * x 
  • usw...

Nun kann man sich fragen, was passiert, wenn man zwei solcher Potenzen miteinenader multipliziert. Z.B.: Was ist x^3 * x^2?

  • x^3 * x^2 = (x * x * x) * (x * x) = x^5

Wir bemerken, dass sich bei so einer Multiplikation die Exponenten einfach nur zusammenaddieren und erhalten folgende Potenzregel:

  • x^a * x^b = x^(a + b)

Zurück zu unserer Anfangsfrage: Was sollte x^0 sein? Naja, wenn immer noch die obige Regel gelten soll, ist auf jeden Fall

  • x^0 * x^1 = x^(0 + 1) = x^1.

D.h. x^0 * x = x. Diese Gleichung kann aber nur dann für alle x erfüllt sein, wenn x^0 = 1 ist.

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Es hat weniger mit Teilen zu tun, sondern vielmehr mit Multiplikation zu tun: in jeder **Algebra**, A, definiert man a⁰ als das bzgl. Multiplikation neutrale Element (Teilen ist nicht immer verfügbar), damit man die Wirkung von ({1;2;3;…},+,*) auf (A,*) fortsetzen kann zu einer Wirkung von ({0;1;2;3;…},+,*) auf (A,*). Das heißt es muss gelten  
aⁿa⁰=a^(n+0)=aⁿ=a^(0+n)=a⁰aⁿ
und
(a⁰)ⁿ=a^(n*0)=a⁰=a^(n*0)=(aⁿ)⁰
und zwar für alle n∈{0;1;2;3;…} und a∈A.

Wenn man nun b⁰=[Neutralelement] setzt, werden diese Bedingungen alle erfüllt, sprich, es ist eine passende/hinreichende—jedoch nicht unbedingt in allen Algebren notwenige—Wahl. Sobald die Algebra die Cancellation-Eigenschaft hat oder mindestens *nullteilerfrei* ist, wie die natürlichen, rationalen, reellen, komplexen, usw. Zahlen, so ist diese Wahl sogar notwendig (der Beweis ist einfach). Darum ist b⁰:=1 quasi „die“ *algebraische* Definition.

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Na, wie schon in der anderen Frage vermutet, bestätigt sich mein Verdacht:

Solange Du nur Schubfachdenken für Spezialfälle betrachtest, wirst Du immer neue und weitere Fragen haben...

Das hatten wir hier schon mal mit Bild:

https://www.gutefrage.net/frage/wie-kann-man-sich-negative-exponenten-vorstellen?foundIn=list-answers-by-user#answer-189261300

x^y = pow(x,y) = e^(log(x)*y) = exp(log(x)*y)

was man mit Reihenentwicklung beliebig genau

für ganze, reelle, negative, komplexe Zahlen ...

 berechnen kann.

Merke: "Mal-Rechnen" ist nur ein Sonderfall für ganze positive Zahlen.

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Hab die alte Frage nochmal gelesen: 6² = 6 *6, weil Exponent 2 die Anzahl der Faktoren ist! 6^0 ist damit NICHT 6 *0, sondern bedeutet, dass die 6 nicht (0) da ist und nur der Zählanfang 1 wieder zuza geschrieben wird!

Ich verstehe dich nicht warum man teilt und nicht malnimmt? Das ergibt  sich doch immer aus einer Aufgabe und ist jedes Mal anders!

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