x. Wurzel aus x

...komplette Frage anzeigen

4 Antworten

Die Nullstelle auszuschließen ist ja noch keine Aktion. Aber ich habe mir eben von einem Tool die Ableitung ausrechnen lassen, das ist der Hammer! Also, so richtig einfach ist es noch nicht, das nur in einer anderen Weise zu schreiben. Denn dann geht es ja erst richtig los mit innerer und äußerer Ableitung.

Der Tool hat jedenfalls als Ableitung das Folgende ausgerechnet. Und nun setz das mal auf 0 für die Extremwerte. (Ich hätte keine Lust dazu.)

f''(x) = (x ^(1/x) / x²) * (1 - ln x)

Melvissimo 29.08.2013, 19:41

Ok, das Ableiten gestaltet sich tatsächlich etwas aufwendig. Die Nullstellen der Ableitung zu berechnen sieht meines Erachtens gar nicht so schwer aus...

Mit der ein Produkt ist genau dann gleich Null-Regel kommt man schnell darauf, dass

1 - ln x = 0 sein muss (ansonsten wäre der Zähler des linken Faktors gleich 0, was nur für x = 0 möglich ist. Das ist aber nicht definiert). Dies liefert aber unmittelbar x = e.

2
Volens 29.08.2013, 19:44

Aus der Klammer (1 - ln x) könnte man leicht ein Null-Ergebnis machen (Faktorisierung).

Das hieße ln x = 1

und das gilt für x = e

Das müsste dann ein Extremwert sein.

0
Volens 29.08.2013, 19:47
@Volens

@Melvissimo

Ich wollte eigentlich gar nicht weiterrechnen, habe dann natürlich den Faktor gesehen. Und dann hast du mich noch überholt. Sehr schön!

Gemeinsam sind wir stark.

1
psychironiker 29.08.2013, 19:54
@Volens

...Ich wurschtelte parallel dazu vor mich hin und kam, o Wunder, zum gleichen Ergebnis; ich denke, dass x = e das einzige Extremum ist (siehe Form der Ableitung).

0
Svanna 29.08.2013, 19:13

Ja das dachte ich auch, aber lässt sich x^1/x nicht auch x^-1 schreiben? Und das ist wieder nicht das gleiche

0
Melvissimo 29.08.2013, 19:18
@Svanna

Nein. Es gilt: x^(-1) = 1/x. Daher ist

x^(1/x) = x^(x^(-1)) und das unterscheidet sich deutlich von x^(-1).

2
Svanna 29.08.2013, 20:01
@Melvissimo

Das stimmt, danke, da war also mein Denkfehler... also DANKE

0

Zu den Ableitungen:

f(x) = x ^ (1/x);

(x ^ (1/x) ) ' =

Darstellung von f(x) als e ^ ln ( f(x) ) , weil die Ableitung der e-Funktion bekannt ist:

(e ^ ln ( x ^ (1/x)) ) ' =

(e^ ( ( ln x ) / x ) ' =

Quotientenregel für den Exponenten:

x^(1/x) * ( (( 1/x) * x - (ln x ) * 1) / x² ) =

x^(1/x) * ( ( 1 - ln x ) / x² );

die Ableitung hat ist genau dann = 0, wenn der Faktor 1 - ln x = 0 ist. Also hat f(x) eine horizontale Tangente genau bei x = e.

Zur Art des Extremums:

f''(x) =

Produktregel:

( x^(1/x) ) ' * ( ( 1 - ln x ) / x² ) + x^(1/x) * ( ( 1 - ln x ) / x² )' =

( x^(1/x) ) * ( ( 1 - ln x ) / x² )² + x^(1/x) * ( 1 / x² - ln x ) / x² )' =

( x^(1/x) ) * ( ( 1 - ln x ) / x² )² + x^(1/x) * ( -2 / x³ - ( 1/x * x² - ln x * 2x ) / x^4 );

f''(e) = ( ) * 0 + e^(1/e) * ( -2/e³ - (e - 1* 2e)( e^4) < 0

f(x) hat bei x = e (genau) ein Maximum.

psychironiker 29.08.2013, 19:56

... muss in der letzten Zeile heißen:

f''(e) = ( ) * 0 + e^(1/e) * ( -2/e³ - (e - 1* 2e)) / ( e^4) < 0

(Schreibfehler; ) ändert nichts am Ergebnis

0

xte Wurzel aus x lässt sich doch auch anders (mit Exponent) schreiben! Überlege einmal - dann hast du die Lösung.

Was möchtest Du wissen?