x^{-1} = 1/x, warum?

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Also ich bin jemand der das nicht einfach so hinnimmt, sondern auch gern den Hintergrund dazu weiß…

Das ist eine gute Haltung, die eigentlich jeder sich zum Vorbild nehmen könnte und sollte.

…kann mir jemand erklären warum x^{-1} = 1/x ist?

Ja. Es ist eine logische Fortsetzung des Potenzbegriffs über die ursprüngliche Einführung hinaus.

Wie schon die Multiplikation sich als Abkürzung für wiederholte Addition,

(1)  n·x = x+x+…+x    (n Summanden),

wurde die Potenzierung als Abkürzung für die wiederholte Multiplikation eingeführt, wobei der Exponent die Anzahl der Faktoren ist:

(2)  x^{n} = x·x·…·x    (n Faktoren)

Haben wir nun die Subtraktion als Umkehrung der Addition und die Division als Umkehrung der Multiplikation eingeführt, so können wir mit den Rechenregeln

(3)  (n–1)·x = n·x – x

und

(4)  x^{n–1} = x^{n}/x

die Faktoren und die Exponenten nach unten hin fortsetzen:

(3.1)  0·x = 1·x – x = x – x = 0
(3.2)  x^{0} = x¹/x = x/x = 1,

und darüber hinaus:

(4.1)  –1·x = 0·x – x = 0 – x = –x
(4.2)  x^{-1} = x^{0}/x = 1/x

u.s.w. - Voraussetzung, x ist nicht 0!

Damit ist diese Frage beantwortet, aber damit ist die Erweiterung noch lange nicht ausgeschöpft. Mit Hilfe der Wurzeln lassen sich beispielsweise auch rationale Exponenten definieren, und mit Hilfe der Exponentialreihe

(5)  e^{x} = 1 + x + ½x² + … + (1/n!)·x^{n} + …

lassen sich alle reellen Zahlen als Exponenten wählen.

Schließlich lassen sich in den Komplexen Zahlen , in der es die imaginäre Einheit i mit der Eigenschaft

i² = -1

gibt, durch Anwendung der Rechenregeln auf sie und die Euler-Formel

(6)  e^{i·x} = cos(x) + i·sin(x)

alle Komplexen Zahlen mit Ausnahme der 0 als Basis und alle Komplexen Zahlen überhaupt als Exponenten wählen. Eine größere Erweiterung der Rechenmöglichkeiten gibt es nicht.

Ich finde es gut, dass du die Dinge nicht einfach hinnimmst, sondern hinterfragst. Damit bist du schon einmal mündiger und gebildeter als so manch anderer, der einfach nur Sachen wiederkäut, die ihm andere eingeredet haben.

Nun zu deiner Frage:    Nehmen wir mal ein Beispiel. 5^2=25  Wenn du also die Wurzel aus 25 nimmst, dann bekommst du fünf.   sqrt(25)=5  Das ist in diesem Falle nichts anderes, als durch die Basis des Exponentialterms mit der Potenz 2, durch welchen er sich darstellen lässt, zu teilen. 

Wir halten  also fest:  Für k=n^2 gilt:  k/n=n

Wie wir nun feststellen, reduziert sich die Potenz um eins.  Nach einigem Rumprobieren mit anderen Quadratzahlen (wenn du es nachvollziehen willst, empfehle ich dir, das mal durchzuarbeiten, mindestens bis 49), dann scheint sich folgende Regelmäßigkeit herauszukristallisieren:

Da n^k/n=n^(k-1) 

Das ist auch klar. Ich multpliziere n k-mal miteinander und teile dann noch einmal durch n. Im Gesamten habe ich dann k-1 mal n miteinander wirksam multipliziert. Wenn ich durch n^2 teile, dann habe ich im Allgemeinen  k-2 - mal n multipliziert, usw. Also lässt sich folgende Regel ausmachen:

n^k/n^m=n^(k-m)

Das ist quasi die verallgemeinerte Formel, oben steht das gleiche nur für m=1.

Jetzt kommt der große Schritt:

Wenn also das gilt, was ist dann, wenn m>k?   Ganz klar, dann wird einfach das Minuszeichen beibehalten. Für n=5 gilt dann also:

25/5= 1/5=5^(-1)

So sollte es ungefähr nachvollziehbar sein. Probiere es auch mal mit anderen Zahlen, wenn du Hifle brauchst, sag' Bescheid.

Dir ist in der letzten Rechnung ein Fehler passiert. Ich nehme an du wolltest 5/25 rechnen also 5/(5*5) und nicht 25/5

Gruß

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@Galactos

Danke.  In der letzten Rechnung habe ich mich vertan, es muss 5/25 heißen.

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Einfach erklärt wurde ich es so erklären:

1=x^0

=> 1/x=(x^0)/(x^1)=x^(0-1)=x^(-1)

Was ich angewandt habe ist das stinknormale potenzgesetz

Gruß

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