Wurzelziehen und reelle zahlen

... komplette Frage anzeigen

7 Antworten

Die Wurzel aus einer Zahl kann mehrere Lösungen haben. Wie in Deinem Beispiel ja schon gesagt: Wurzel aus 49 kann 7 aber auch -7 sein, denn 77= 49 aber auch (-7)(-7)=49. Daher ist es keine Äquivalenzumformung. D.h. es ist nicht unbedingt umkehrbar weil es eben nicht eine eindeutige Lösung gibt. Warum die Wurzel aus 4 nicht auch -2 sein kann ist mir dabei schleierhaft - vielleicht hast du da was falsch verstanden, denn (-2)(-2)=22=4...

Reele Zahlen sind übrigens alle Zahlen, die im Realen existieren. Irgendwann zu Begin Deiner mathematischen Karriere hast Du mal natürliche Zahlen kennen gelernt: 1; 2; 3; ... Als dann mal 5-7= ? gerechnet werden sollte ging das erst, nachdem der Zahlenraum erweitert wurde um die negativen Zahlen und damit bekamst Du die Menge der Ganzen Zahlen. Die nächste Erweiterung kam als die Aufgabe 3:4 = ? keine Lösung mehr gab ohne die Bruchzahlen einzuführen. Also kommt 3/4 bzw 0,75 ins Spiel. Diese kannst Du nun noch um sogenannte nichtentliche Dezimalzahlen erweitern und dann bist du bei den reelen Zahlen. Also solche Vertreter wie z.b. Pi oder e gehören dazu.

Beim Wurzelziehen ist die nächste Hürde vorprogrammiert, nämlich die Wurzel aus einer negativen Zahl. Da das im Bereich der reelen Zahlen nicht geht, erweitert man wieder den Zahlenbereich und Sagt die Wurzel aus (-1) ist i. i ist dann eine Imaginäre Zahl. Zusammen mit den reealen Zahlen bilden die imaginären Zahlen die Menge der komplexen Zahlen... Aber das ist ein weiteres Kapitel, dass dann sicher bald im Matheunterricht folgt!

viele Erfolg - und glaub mir, Mathe kann auch Spaß machen - ist zwar schwer zu glauben, aber geht. :-)

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Alinaaa1996
24.06.2011, 10:55

dankeschön deine antwort war sehr hilfreich :)

0
Kommentar von IIIsamIII
24.06.2011, 10:55

Gute Erklärung.. noch ein Tipp für die nächste Antwort.. wenn du ein \ vor das * Zeichen schreibst (Taste AltGr und ß) wird es auch in der Antwort als solches angezeigt.

0
Kommentar von notizhelge
24.06.2011, 12:14

Die Wurzel aus einer Zahl kann mehrere Lösungen haben.

Die Wurzel (einer nicht-negativen reellen Zahl) ist per Definition immer nicht-negativ http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29

Aber eine Gleichung der Form x²=a hat für a>0 zwei Lösungen. Verwechsle das nicht!

0
Kommentar von AndreiK
26.09.2011, 14:06

Eine Wurzel ist nie Negative deshalb nur 1 Lösung

0

Wurzel(4) = 2 (eindeutig und positiv)

x² = 4 Lösungen 2 und -2

und schliesslich sagt er dass wurzelziehen keine Äqivalenzumformung ist , also dass es kein genaues ergebnis gibt.

Lies noch mal nach, was eine Äquivalenzumformung ist.

und zum schluss: könnte mir vielleicht einer sagen, was genau reelle zahlen sind und was sie mit wurzelziehen zu tun haben können ?!

Die reellen Zahlen entsprechen eins-zu-eins den Punkten auf dem Zahlenstrahl. Die Wurzeln aus Zahlen, welche keine Quadratzahlen sind, sind irrational (nicht als Bruch darstellbar), und spätestens da braucht man die reellen Zahlen. Diese bestehen eben aus den rationalen Zahlen (die, die man als Bruch schreiben kann) und den irrationalen (die, die man nicht als Bruch schreiben kann).

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Eine Äquivalenzumformung ist eine Rechenoperation, bei der immer ein EINDEUTIGES Ergebnis rauskommt. Beim Ziehen einer Wurzel ist das nicht der Fall, denn:

2 * 2 = 4, aber auch -2 * -2 = 4.

Sucht man also die Wurzel aus 4, gibt es 2 richtige Ergebnisse: +2 und -2.

BEIDE Ergebnisse sind richtig, es ist allerdings in der Mathematik so definiert (sprich: VEREINBART) worden, daß man idR das positive Ergebnis (also +2) als das "richtige" Ergebnis betrachtet.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Alinaaa1996
24.06.2011, 10:48

achso.... aber was soll ich denn jetzt in er arbeit schreiben zB x² = 49 / soll ich beide möglichkeiten oder nur die positive...wäre es denn falsch auch die negative zu schreiben ??

0
Kommentar von clemensw
24.06.2011, 10:52

Reelle Zahlen sind die Menge von Zahlen, die auch die Ergebnisse aus Wurzelziehen beinhalten.

Ganz einfach ausgedrückt: Du fängst mit den Natürlichen Zahlen (Symbol N mit Doppelstrich) irgendwann an. Also 1,2,3, usw.

Damit kann man schon prima addieren und multiplizieren. Aber subtrahieren geht manchmal nicht., z.B. 3-5 hat in N kein Ergebnis. Also braucht du negative Zahlen, also -1,-2,-3 usw.

Positive + Negative Zahlen + 0 ist die Menge der ganzen Zahlen (Z mit Doppelstrich). Damit kann man aber wieder nicht alle Divisionen lösen, also erweitert man auf die rationalen Zahlen.

Aber nicht jede Wurzel ist eine Rationale Zahl, also erweitert man wieder auf dei Reellen Zahlen.

In ein paar Jahren wirst Du dann lernen, daß diese Menge auch nicht ausreicht, um die Wurzel aus negativen Zahlen zu ziehen (also Wurzel aus -1 ist nicht in R definiert). Dann kommen die komplexen Zahlen.

Und falls Du irgendwann Mathe studierst... selbst das kann man noch steigern ;-)

0
Kommentar von Commodore64
24.06.2011, 10:52

Strenggenommen bekommt man beim wurzel ziehen nur den Betrag heraus. Das es sich um den Betrag und nicht um eine stets positive Zahl handelt wird leider nicht ausdrücklich im Unterricht "verraten".

0
Kommentar von notizhelge
24.06.2011, 12:25

Beim Ziehen einer Wurzel ist das nicht der Fall, denn:

Die Wurzel hat ein eindeutiges Ergebnis. Wurzel(4)=2 und nicht -2.

Leute, verwechselt nicht immer Wurzelziehen mit Gleichungen lösen.

Wurzel(4) hat ein eindeutiges Ergebnis, nämlich 2 (positiv!).

Die Gleichung x²=4 hat zwei Lösungen, nämlich Wurzel(4)=2 und -Wurzel(4)=-2 (für letzteres kommt vor die immer positive Wurzel ein Minus, wodurch man das negative Ergebnis der Gleichung erhält; wäre die Wurzel nicht eindeutig und positiv, hätte das Davorsetzen des Minuszeichens auch wenig Sinn).

0

Zur Gleichung x²=49:

Weil jede reele Zahl quadriert eine positive Zahl ergibt, hat diese Gleichung zwei Lösungen. Also kann man schreiben:

x²=49 | sqrt()

|x|=sqrt(49)

|x| heißt Betrag von x und liefert zu jeder Zahl den positiven Wert, z.B. |-5|=5

sqrt() heißt square root, also Quadratwurzel.

Also kann man weiter schreiben:

x=±7

Also ist x entweder -7 oder +7.

Wenn du von einer Zahl die Wurzel ziehst, ist das die Wurzelfunktion, die du da anwendest. Und Funktionen haben für alles, was du einsetzt, nur EIN Ergebnis.

Meiner Ansicht nach ist Wurzelziehen schon eine Äquivalenzumformung, aber Potenzieren nicht.

Z.B. -3=3 | ²

(-3)²=3²

9=9

Aus der anfangs falschen Gleichung ist eine richtige entstanden, also ist Potenzieren mit geraden Exponenten KEINE Äquivalenzumformung.

Zu deiner Frage:

Natürliche Zahlen sind Zahlen wie 1,2,3,4,...

Ganze Zahlen werden durch alle negativen Zahlen und 0 erweitert, also ...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,.... Rationale Zahlen sind auch Bruchzahlen, z.B. 1/3, 5/13,-26/25,3,...

Bei reelen Zahlen kommen noch Zahlen dazu, die sich nicht durch Brüche darstellen lassen, z.B. Wurzeln, oder π und andere mathematische Konstanten.

Ich hoffe, ich konnte helfen. :)

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

die rationalen Zahlen (3; 4,5; -8; -3/7) und die irrationalen Zahlen (5,31331331....; √ 2 ) fasst man zur Menge der reellen Zahlen zusammen.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Die Wurzel aus einer Zal ist niemals negativ. Die Wurzel aus Null ist Null, und für positive Zahlen ist die Wurzel immer positiv.

dann haben wir aufgaben gemacht zB x² = 49 und dann sagt er das ergebnis lautet entweder 7 oder -7

dann sagt er wieder dass wenn man zb aus 4 die wurzel zieht , dass nur 2 rauskommen kann aber nicht -2 .

Da hat er auch völlig recht. Verwechsle nicht "Lösen einer Gleichung" mit "Wurzel ziehen". Da ist nicht dasselbe.

  • Die Wurzel aus 4 ist 2 und nicht -2.
  • Aber: die Gleichung x²=4 hat die Lösungen 2 und -2, da 2²=4 und (-2)²=4

Darum löst man eine Gleichung wie diese (um mal ein anderes Beispiel zu nehmen):

x² = 7

So:

x = Wurzel(7) oder x=-Wurzel(7). Bzw die Lösungsmenge ist {-Wurzel(7), Wurzel(7)}, je nachdem, wie ihr das schreibt.

Eben deswegen, weil die Wurzel positiv ist, macht es Sinn, für die zweite Lösung der Gleichung ein Minus vor die Wurzel zu schreiben.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Alinaaa1996
24.06.2011, 13:49

ok ich glaub ich habs jetzt endlich gecheckt!! vielen, vielen dank !

0

Zieht man eine Wurzel, dann ist das Ergebnis immer positiv.

In einer Formel wo etwas quadriert wird, führen zwei Werte zum gleichen Ergebnis, einer ist positiv, der andere ist negativ.

Zwar rechnet man das durch das ziehen der Wurzel zurück, hier muß man aber beachten dass man dabei nur den Betrag von X heraus bekommt.

x² = 49

|x|=√49

|x|=7

|7| = |-7| = 7

Das mit dem Betrag lässt man einfach weg da ja jedem Klar sein sollte dass das so ist. Dummerweise wird das aber fast nie so erklärt damit das auch die Schüler wissen.

Hier wird (kommt ihr bei der pq-Formel noch zu) meistens eine Menge von X zugeordnet.

X1,2 = √49

X1 = 7

X2 = -7

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Alinaaa1996
24.06.2011, 10:52

ok danke! also wenn in der arbeit steht x² = 49 dann schreib ich einfach nur als ergebnis 7 hin ?!

0

Was möchtest Du wissen?