Wurzelumformung Mathe?

... komplette Frage anzeigen

2 Antworten

Umgekehrt ist es wesentlich einfacher - das geht einfach geradeaus.

Am Ende brauchst du nur noch die Umformungen in umgekehrter Reihenfolge aufzuschreiben.

-----

Allgemein: Man hat gern rationale (oder ganzzahlige) Nenner - damit lässt sich in den meisten Fällen leichter weiterrechnen als mit Wurzeln, besonders mit Summen von Wurzeln.

Wenn man im Nenner einen Term von der Form

a + √(b)

hat, erweitert man den Nenner mit

a - √(b)

wodurch man einen Ausdruck ohne √(b) erhält (3. binomische Formel).

-----

In diesem Fall sieht das so aus:

(√3 - √2) / (√3 + √2) =

( (√3-√2)(√3-√2) )   /   ( (√3+√2)(√3-√2) )

= ( (√3)^2 - 2 √3 √2 + (√2)^2 )   /   ( (√3)^2 - (√2)^2)

In diesem Fall hat man das zusätzliche Glück, dass gleich beide Wurzeln aus dem Nenner entfallen.

√3 √2 kann man zu √6 zusammenfassen, den Rest solltest du selbst ausrechnen können.

-----

Weitere Anmerkung:

In der Numerik sieht es oft anders aus. Wenn es darum geht, Werte von Ausdrücken zu berechnen, sind Differenzen generell ungünstig. Auch sollten Nenner möglichst groß sein, auch damit Fehler im Zähler nicht zusätzlich verstärkt werden.

In diesem Fall liegt der Zahlenwert des Gesamtausdrucks nur um ca. 2 Größenordnung der Elemente der Differenz, da ist der Verlust an Genauigkeit noch nicht so sehr groß.

Aber schon hier sieht man, wenn man mit 4-Byte-Fließkommazahlen rechnet, einen Unterschied:

5 - 2 * √6 = 0,1010208    (4-Byte-Zahl)

(√3-√2) / (√3+√2) = 0,1010205    (4-Byte-Zahl)

Als 8-Byte-Zahl kommt beide Male 0,101020514433644 heraus. Damit ist der Quotient im Rahmen der Rechengenauigkeit numerisch so genau wie möglich, die Differenz ist es nicht.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Gehe von der rechten Seite der Gleichung aus, dann siehst du es:

(√3 - √2) / (√2 + √3) = (√3 - √2)*(√2 - √3) / [(√2 + √3)*(√2 - √3)] =

(√3√2 - √2√2 - √3√3 + √2√3) / [(√2)² - (√3)²] =

(2√6 - 2 - 3) / (2 - 3) = (2√6 - 5) / ( -1) = 5 - 2√6

Wenn du jetzt die Gleichungskette vom Ende her zum Anfang liest, hast du den gesuchten Rechenweg.

Gruss

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?