Wurzel ziehen! wieso 2 ergebnisse?
bei aufgaben wie x² = 4 ist das ergebnis x1 = 2 und x2 = -2 das verstehe ich auch noch.
aber ich habe mal gelesen dass z.b bei x² = 6 das ergebnis x1 = 5 und x2 = 1 ist... war das falsch oder ist das richtig?ich blicke da noch nicht so ganz durch..
8 Antworten
Es kommt immer auf den Zusammenhang deiner Gleichung an.
Du kannst Normale Quadrate im Regelfall immer, sofern ein zweites X vorhanden ist mit der PQ Formel lösen.
Es muss bei einem Quadrat 2 Ergebnisse geben, da es eine Parabel ist und somit 2 Koordinaten mindestens beansprucht.
So wirst du lernen, dass bei x³ und x^4 dann jeweils 3 und 4 Koordinaten raus kommen. Wie diese Koordinaten aussehen ist abhängig von der gesamten Gleichung.
Du solltest meinen gesamten Text lesen, danke.
"Du kannst Normale Quadrate im Regelfall immer, sofern ein zweites X vorhanden ist mit der PQ Formel lösen. " Erst lesen, dann schnacken.
ganz einfach: minus mal minus ergibt plus. somit ist die Lösung für x² gleich 4, also die Zahlen, die mit sich selbst malgenommen 4 ergeben, 2 und -2.
Denn 2 mal 2 ist 4 und -2 mal -2 ist auch 4.
das zweite ist totaler Unsinn.
x² gleich 6 hat als Lösungen Wurzel aus 6 und minus Wurzel aus sechs. kannste mit Taschenrechner ausrechnen, ist 2 komma nochwas und -2 komma noch was.
Wurzel ziehen!! wieso 2 ergebnisse?
Beim Wurzelziehen gibt es nicht zwei Ergebnisse, sondern eins.
Wurzel(4) = 2 und nicht -2. Definition nachschlagen!
Aber die Gleichung x²=4, die hat zwei Lösungen, nämlich Wurzel(4)=2 und -Wurzel(4)=-2.
Für die zweite Lösung kommt ein Minus vor die Wurzel, und das macht ebendeswegen Sinn, weil Wurzel(...) nicht negativ ist.
Nicht Wurzelziehen mit Gleichunglösen verwechseln! Das is tnicht einfach dasselbe!
z.b bei x² = 6 das ergebnis x1 = 5 und x2 = 1
Das ist total falsch. Wie wär's denn mal mit Probe machen? x1=5 eingesetzt ergibt:
5² = 6
25 = 6 --> uuuuuuuupppps, falsche Lösung
Immer die Probe machen!!!
Die Gleichung x²=6 hat natürlich die Lösungen Wurzel(6) und -Wurzel(6).
Wurzel(4) = 2 und nicht -2. Definition nachschlagen!
Abgesehen davon, dass der Frager gar kein Problem mit den 2 Lösungen von x²=4 hat, ist deine Behauptung nicht richtig. Die Quadratwurzel (Wie auch jede Wurzel mit einem geradzahligen Wurzelexponenten) aus einer Reellen Zahl >= 0 hat immer (abgesehn von der "0") 2 Lösungen - eine positive und eine negative!
Oder ist (-2)² etwa nicht gleich +4???
Graphisch dargestellt ergibt die (Quadrat-) Wurzelfunktion (die ja nichts Anderes ist als die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion) eine liegende Parabel mit Scheitel im Ursprung, die ganz deutlich vor Augen führt, dass es für jede Reelle Zahl >0 exakt 2 Lösungen gibt.
Die Quadratwurzel aus einer Reellen Zahl >= 0 hat immer 2 Lösungen - eine positive und eine negative!
Die Quadratwurzel aus einer reellen Zahl x, also der Term Quadratwurzel ( x ) hat keine Lösung, weil es sich dabei eben um einen Term handelt und nicht um eine Gleichung. Ein Term aber hat keine Lösungen sondern einen Wert. Und dieser Wert ist bei dem Term Quadratwurzel ( x ) gemäß Definition diejenige positive Zahl y, für die gilt: y ² = x
die (Quadrat-) Wurzelfunktion (die ja nichts Anderes ist als die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion)
Die Quadratwurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion f ( x ) = x ²
Graphisch dargestellt ergibt die (Quadrat-) Wurzelfunktion (...) eine liegende Parabel mit Scheitel im Ursprung, die ganz deutlich vor Augen führt, dass es für jede Reelle Zahl >0 exakt 2 Lösungen gibt
Eine Abbildung, die einem Wert ihres Definitionsbereiches mehr als genau einen Wert ihres Wertebereiches zuordnet, ist keine Funktion. Funktionswerte sind eindeutig bestimmt. g ( x ) = Quadratwurzel ( x ) ist daher nur dann eine Funktion (und damit als Umkehrung der Potenzfunktion f ( x ) = x ² (nicht Exponentialfunktion!) zu gebrauchen, wenn man ihren Wertebereich auf die positiven (oder auch die negativen) Zahlen einschränkt. Man hat sich für die positiven Zahlen entschieden. Daher hat die Funktion Quadratwurzel ( x ) für nichtnegative x genau einen Wert, nämlich diejenige positive Zahl y, für die gilt: y ² = x.
Abgesehen davon, dass der Frager gar kein Problem mit den 2 Lösungen von x²=4 hat, ist deine Behauptung nicht richtig.
Die Behauptung ist richtig. Du mögest nachschlagen, oder besser noch: Den Grund verstehen.
Die Quadratwurzel (Wie auch jede Wurzel mit einem geradzahligen Wurzelexponenten) aus einer Reellen Zahl >= 0 hat immer (abgesehn von der "0") 2 Lösungen - eine positive und eine negative!
Auch du verwechselst Wurzel(2) mit den Lösungen der Gleichung x²=2. "Wurzel()" ist ein Operator. Gleichungen haben Lösungen, Operatoren haben Ergebnisse, und zwar immer eines.
Oder ist (-2)² etwa nicht gleich +4???
*Seufz*. -2 ist eine Lösung der Gleichung x²=4, weil (-2)²=4, aber es NICHT gleich Wurzel(4), weil -2 negativ ist, das Ergebnis einer Wurzel aber per Definition nichtnegativ ist.
x² = 4
x1,2 = +-Wurzel(4) = +- 2
x1 = 2
x2 = -2
x² = 6
x1,2 = +-Wurzel(6)
x1 = Wurzel(6) = 2,45
x2 = -Wurzel(6) = - 2,45
Fazit: Man darf nicht alles glauben, was man hört. Außerdem sind Mathematiker sehr pingelig!
x1 = Wurzel(6) = 2,45
x2 = -Wurzel(6) = - 2,45
(...) Außerdem sind Mathematiker sehr pingelig!
Auch wenn ich kein Mathematiker bin:
Entweder du schreibst:
x1 = Wurzel(6) = 2,449...
x2 = -Wurzel(6) = - 2,449...
oder du ersetzt jeweils das zweite Gleichheitszeichen durch das "fast gleich"- Zeichen, also:
x1 = Wurzel(6) ≈ 2,45
x2 = -Wurzel(6) ≈ - 2,45
oder aber du weist wenigstens darauf hin, dass die Werte gerundet sind:
x1 = Wurzel(6) = 2,45 (gerundet)
x2 = -Wurzel(6) = - 2,45 (gerundet)
Das wäre gerade noch akzeptabel, auch wenn jeweils das zweite Gleichheitszeichen auch dann immer noch falsch ist.
Dennoch DH, denn schließlich bin ich ja nun einmal kein Mathematiker :-)
Mein Problem ist außerdem ganz einfach: Ich habe die Tilde auf der Tastatur, kein Näherungszeichen. Es macht keinen Spaß, mit primitiven Arbeitsmitteln etwas darzustellen. Vektoren sind auch schwer hier darzustellen! Wie hast du denn das Näherungszeichen erzeugt, von irgendwo her kopiert, nehme ich an?!
Wurzel ist das Gegenstück zum Quadrat.
Was ist das Quadrat von 2? Und was ist das Quadrat von (-2) ?
Genau, und deswegen kann es zwei Ergebnisse einer Wurzelgleichung geben.
Das mit dem 5 und 1 ist Quatsch, die Wurzel aus 6 ist +/- und dann irgendwas zwischen 2 und 3 ^^
Die pq-Formel ist für quadratische Gleichungen. Hier wird ja nur ein Quadrat berechnet.
Ein einfaches Quadrat wäre sozusagen die Sonderform der quadratischen Gleichung. Aber das ist um m. E. etwas um die Ecke gedacht.